i⁴ = 1 olduğuna göre, i²⁰²⁴ ifadesinin değeri kaçtır?
A) iBu soruda, sanal birim $i$'nin kuvvetleriyle ilgili temel bir özelliği kullanarak $i^{2024}$ ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. Sanal birim $i$'nin kuvvetlerinin belirli bir döngüye sahip olduğunu hatırlayalım.
Sanal birim $i$'nin kuvvetleri her 4 adımda bir kendini tekrar eder. Bu döngüyü hatırlayalım:
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$
Soruda bize $i^4 = 1$ olduğu bilgisi verilmiş, bu da bu döngünün başlangıç noktasıdır. Bu döngü, $i$'nin kuvvetlerini hesaplarken bize büyük kolaylık sağlar.
Bir sayının $i$'nin çok büyük bir kuvvetini bulmak için, kuvveti 4'e böleriz ve kalanı kullanırız. Çünkü $i^4 = 1$ olduğu için, $i$'nin her 4'ün katı olan kuvveti 1'e eşittir. Yani, $i^n$ ifadesinin değeri, $n$'nin 4'e bölümünden kalana göre belirlenir:
Eğer $n$'nin 4'e bölümünden kalan 0 ise, $i^n = i^4 = 1$.
Eğer $n$'nin 4'e bölümünden kalan 1 ise, $i^n = i^1 = i$.
Eğer $n$'nin 4'e bölümünden kalan 2 ise, $i^n = i^2 = -1$.
Eğer $n$'nin 4'e bölümünden kalan 3 ise, $i^n = i^3 = -i$.
Şimdi $i^{2024}$ ifadesinin değerini bulmak için $2024$ sayısını $4$'e bölelim. Bu bize $2024$'ün $4$'ün kaç katı olduğunu ve varsa kalanı gösterecektir:
$2024 \div 4 = 506$
Bu bölme işleminde kalan $0$'dır. Yani $2024$, $4$'ün tam bir katıdır. Bu, $i^{2024}$'ün değerini bulmak için çok önemli bir bilgidir.
$2024$'ün $4$'e bölümünden kalan $0$ olduğu için, $i^{2024}$ ifadesinin değeri $i^4$'ün değerine eşittir. Çünkü her $i^4$ bir çarpan olarak $1$ değerini verir ve bu da sayının değerini değiştirmez.
Biz biliyoruz ki $i^4 = 1$.
Dolayısıyla, $i^{2024} = 1$ olur.
Bu tür sorularda, büyük üsleri 4'e bölerek kalanı bulmak, çözümün anahtarıdır. Unutmayın, $i$'nin kuvvetleri her zaman 4'lü bir döngüde tekrar eder ve bu döngüyü anlamak, karmaşık sayı problemlerini çözmede size büyük avantaj sağlar!
Cevap C seçeneğidir.
