i³⁰ + i⁴⁰ + i⁵⁰ + i⁶⁰ işleminin sonucu kaçtır?
A) 0Sevgili öğrenciler, bu soruda karmaşık sayılar konusundaki temel bilgilerimizi, özellikle de $i$ sayısının kuvvetlerinin döngüsel yapısını kullanacağız. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım!
Karmaşık sayılar birimimiz olan $i$'nin kuvvetleri belirli bir döngü içinde tekrar eder. Bu döngüyü hatırlayalım:
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$
Bu döngü her 4 kuvvette bir kendini tekrar eder. Yani, $i^n$ ifadesinin değerini bulmak için $n$ sayısını 4'e böleriz ve kalana bakarız:
Kalan 1 ise, $i^n = i^1 = i$
Kalan 2 ise, $i^n = i^2 = -1$
Kalan 3 ise, $i^n = i^3 = -i$
Kalan 0 ise (yani $n$ tam olarak 4'e bölünüyorsa), $i^n = i^4 = 1$
Şimdi sorudaki her bir terimin değerini bu kurala göre bulalım:
$i^{30}$ için:
30 sayısını 4'e bölelim: $30 \div 4 = 7$ ve kalan $2$.
Bu durumda, $i^{30} = i^2 = -1$.
$i^{40}$ için:
40 sayısını 4'e bölelim: $40 \div 4 = 10$ ve kalan $0$.
Bu durumda, $i^{40} = i^4 = 1$.
$i^{50}$ için:
50 sayısını 4'e bölelim: $50 \div 4 = 12$ ve kalan $2$.
Bu durumda, $i^{50} = i^2 = -1$.
$i^{60}$ için:
60 sayısını 4'e bölelim: $60 \div 4 = 15$ ve kalan $0$.
Bu durumda, $i^{60} = i^4 = 1$.
Şimdi bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine koyalım:
$i^{30} + i^{40} + i^{50} + i^{60} = (-1) + (1) + (-1) + (1)$
$(-1) + 1 + (-1) + 1 = 0$.
Gördüğünüz gibi, $i$'nin kuvvetlerinin döngüsünü bilmek, bu tür soruları çok daha kolay çözmemizi sağlıyor. Bu döngüyü iyi anlamak, karmaşık sayılar konusunda size büyük avantaj sağlayacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
