f: R → R olmak üzere, f = {(x,y) | y = 2x - 1} bağıntısı veriliyor. Bu bağıntı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birebir fonksiyondur ama örten fonksiyon değildir
B) Örten fonksiyondur ama birebir fonksiyon değildir
C) Hem birebir hem örten fonksiyondur
D) Fonksiyon değildir
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen fonksiyonun ne anlama geldiğini ve birebirlik ile örtenlik kavramlarını hatırlayalım.
- Fonksiyon: $f: R \rightarrow R$ ifadesi, $f$'nin reel sayılardan reel sayılara tanımlı bir fonksiyon olduğunu belirtir. Yani, her reel sayı için bir reel sayı değeri üretir. Verilen fonksiyon $f(x) = 2x - 1$ şeklindedir.
- Birebir Fonksiyon: Bir fonksiyonun birebir (injective) olması için, farklı $x$ değerlerinin farklı $y$ değerlerine gitmesi gerekir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
- Örten Fonksiyon: Bir fonksiyonun örten (surjective) olması için, değer kümesindeki her $y$ değeri için tanım kümesinde bir $x$ değeri bulunmalıdır öyle ki $f(x) = y$ olsun. Yani, değer kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.
Şimdi verilen fonksiyonu bu açılardan inceleyelim:
- Birebirlik: $f(x) = 2x - 1$ fonksiyonu için, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, $2x_1 - 1 = 2x_2 - 1$ olur. Buradan $2x_1 = 2x_2$ ve dolayısıyla $x_1 = x_2$ elde ederiz. Bu, fonksiyonun birebir olduğunu gösterir. Çünkü farklı $x$ değerleri için farklı $f(x)$ değerleri elde ederiz.
- Örtenlik: $f(x) = 2x - 1$ fonksiyonunun örten olup olmadığını anlamak için, herhangi bir $y$ reel sayısı için $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ reel sayısı bulmamız gerekir. Yani, $2x - 1 = y$ denklemini çözmeliyiz. Bu denklemi $x$ için çözersek, $x = \frac{y + 1}{2}$ elde ederiz. Her $y$ reel sayısı için, $\frac{y + 1}{2}$ de bir reel sayıdır. Bu da, her $y$ değeri için tanım kümesinde bir $x$ değeri bulunduğu anlamına gelir. Dolayısıyla fonksiyon örtendir.
Sonuç olarak, $f(x) = 2x - 1$ fonksiyonu hem birebir hem de örtendir.
Cevap C seçeneğidir
