🎓 10. Sınıf Karesel Fonksiyonlar (Parabol) Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf karesel fonksiyonlar (parabol) konusunun temel kavramlarını, grafik özelliklerini, tepe noktasını ve eksenleri kestiği noktaları sade bir dille özetlemektedir. Test sorularını çözerken bu bilgilere başvurarak konuyu daha iyi anlayabilir ve doğru çözümlere ulaşabilirsin.
📌 Karesel Fonksiyon Nedir?
Karesel fonksiyon, en yüksek dereceli teriminin kuvveti 2 olan bir fonksiyondur. Grafiği ise "parabol" adını verdiğimiz özel bir eğridir. Günlük hayatta atılan bir topun izlediği yol veya köprülerin kemerleri parabolik şekillere güzel örneklerdir.
- Bir karesel fonksiyonun genel gösterimi şöyledir: $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- Burada $a, b, c$ birer reel sayıdır ve en önemlisi $a$ asla sıfır olamaz ($a \neq 0$). Eğer $a=0$ olursa, fonksiyon doğrusal bir fonksiyon olur, karesel fonksiyon olmaz.
💡 İpucu: Fonksiyonun karesel olduğunu anlamak için $x^2$ teriminin olup olmadığını kontrol etmelisin!
📌 Parabolün Kolları Nereye Bakar?
Parabolün şeklini ve kollarının yukarı mı aşağı mı baktığını belirleyen en önemli katsayı $a$ değeridir.
- Eğer $a > 0$ ise (yani $a$ pozitif bir sayıysa), parabolün kolları "yukarı" doğru bakar (U şeklinde).
- Eğer $a < 0$ ise (yani $a$ negatif bir sayıysa), parabolün kolları "aşağı" doğru bakar (ters U şeklinde).
⚠️ Dikkat: Kolların yönü, fonksiyonun bir maksimum değeri mi yoksa bir minimum değeri mi olduğunu belirler. Kollar yukarı bakıyorsa bir minimum, aşağı bakıyorsa bir maksimum değer vardır.
📌 Parabolün Tepe Noktası (T)
Parabolün en önemli noktası, yani dönüm noktasıdır. Kolları yukarı bakan bir parabol için en alt nokta, kolları aşağı bakan bir parabol için ise en üst noktadır. Tepe noktası $T(r, k)$ şeklinde gösterilir.
- Tepe noktasının apsisi (x-koordinatı) $r = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- Tepe noktasının ordinatı (y-koordinatı) $k = f(r)$ formülüyle bulunur. Yani $r$ değerini fonksiyon denkleminde $x$ yerine yazarak $k$ değerini hesaplarsın.
- Parabolün tepe noktasından geçen ve y-eksenine paralel olan doğruya "simetri ekseni" denir. Bu doğrunun denklemi $x = r$'dir.
📝 Örnek: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu için $a=1, b=-4, c=3$'tür.
$r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Yani tepe noktası $T(2, -1)$'dir.
📌 Parabolün Eksenleri Kestiği Noktalar
Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar, grafiği çizerken bize önemli ipuçları verir.
- y-eksenini Kestiği Nokta: Fonksiyon denkleminde $x$ yerine $0$ yazılır. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$. Yani parabol y-eksenini $(0, c)$ noktasında keser.
- x-eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): Fonksiyon denklemini $0$'a eşitleyerek $ax^2 + bx + c = 0$ denklemini çözmelisin. Bu denklemin kökleri, parabolün x-eksenini kestiği noktalardır.
- Denklemin diskriminantı $\Delta = b^2 - 4ac$ ile bulunur.
- Eğer $\Delta > 0$ ise, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser ($x_1$ ve $x_2$ gibi iki kök vardır).
- Eğer $\Delta = 0$ ise, parabol x-eksenine teğettir (yani sadece bir noktada dokunur, bu nokta aynı zamanda tepe noktasıdır).
- Eğer $\Delta < 0$ ise, parabol x-eksenini kesmez (reel kök yoktur).
💡 İpucu: x-eksenini kestiği noktaları bulmak için çarpanlara ayırma veya $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ formülünü kullanabilirsin.
📌 Maksimum ve Minimum Değer
Karesel fonksiyonların en büyük veya en küçük değeri, parabolün tepe noktasının y-koordinatı ($k$) ile doğrudan ilişkilidir.
- Eğer parabolün kolları yukarı bakıyorsa ($a > 0$), fonksiyonun bir "minimum değeri" vardır ve bu değer $k$'ye eşittir. Fonksiyonun bir maksimum değeri yoktur, çünkü sonsuza kadar gider.
- Eğer parabolün kolları aşağı bakıyorsa ($a < 0$), fonksiyonun bir "maksimum değeri" vardır ve bu değer $k$'ye eşittir. Fonksiyonun bir minimum değeri yoktur, çünkü eksi sonsuza kadar gider.
⚠️ Dikkat: "En büyük/en küçük değer" sorulduğunda tepe noktasının $k$ değerini, "hangi x değeri için en büyük/en küçük olur" dendiğinde ise $r$ değerini bulmalısın.
