Birim fonksiyon Test 2

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x) = (m+1)x - 4 fonksiyonu birim fonksiyon ise m kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Bu soruda, bir fonksiyonun birim fonksiyon olması durumunu inceleyeceğiz. Birim fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayarak adım adım çözümümüze başlayalım.

• 1. Adım: Birim Fonksiyonun Tanımını Hatırlayalım

  Birim fonksiyon, $f(x) = x$ şeklinde tanımlanan fonksiyondur. Yani, fonksiyona hangi değeri verirseniz, o değeri aynen geri alırsınız. Bu fonksiyonu daha detaylı yazarsak, $f(x) = 1 \cdot x + 0$ şeklinde düşünebiliriz. Burada $x$'in katsayısı $1$, sabit terim ise $0$'dır.

• 2. Adım: Verilen Fonksiyonu Birim Fonksiyon Formuyla Karşılaştıralım

  Soruda bize verilen fonksiyon $f(x) = (m+1)x - 4$. Bu fonksiyonun birim fonksiyon olması isteniyor. O halde, verilen fonksiyonu birim fonksiyonun genel formuyla eşitlemeliyiz:

  $(m+1)x - 4 = 1 \cdot x + 0$

• 3. Adım: Katsayıları ve Sabit Terimleri Eşitleyelim

  İki fonksiyonun birbirine eşit olabilmesi için, $x$'li terimlerin katsayıları ve sabit terimleri ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır.

  Bu durumda, $x$'in katsayılarını eşitlememiz gerekir:

  $m+1 = 1$

  Ayrıca, sabit terimleri de eşitlememiz gerekir:

  $-4 = 0$

• 4. Adım: Çelişkiyi Fark Edelim ve Sorunun Amacını Yorumlayalım

  Sabit terimler için yaptığımız eşitleme, $-4 = 0$ sonucunu verdi. Bu matematiksel olarak mümkün olmayan bir durumdur! Bu durum, aslında $f(x) = (m+1)x - 4$ fonksiyonunun, sabit terimi $-4$ olduğu için, hiçbir zaman tam anlamıyla bir birim fonksiyon olamayacağını gösterir.

  Ancak, bu tür çoktan seçmeli sorularda, eğer bir fonksiyonun "birim fonksiyon olduğu varsayılırsa" bir değişkenin değeri soruluyorsa, genellikle $x$'in katsayısını $1$'e eşitlememiz beklenir. Sabit terimdeki bu tutarsızlık, sorunun kurgusundaki bir eksiklik veya öğrencinin birim fonksiyonun temel özelliğini (yani $x$'in katsayısının $1$ olması gerektiğini) bilip bilmediğini test etme amacı taşıyabilir.

  Bu nedenle, sorunun amacına uygun olarak, $x$'in katsayısını eşitleme adımına odaklanarak $m$ değerini bulalım.

• 5. Adım: $m$ Değerini Bulalım

  $x$'in katsayılarını eşitlediğimiz denklem şuydu:

  $m+1 = 1$

  $m$ değerini bulmak için $1$'i eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $m = 1 - 1$

  $m = 0$

Bu durumda, $m=0$ olduğunda fonksiyon $f(x) = (0+1)x - 4 = x - 4$ olur. Bu fonksiyon birim fonksiyon değildir ($f(x)=x$ değildir), ancak sorunun yapısı gereği $m$ değerini bu şekilde buluruz.

Cevap B seçeneğidir.