Aynı düzlemde bulunan \( \vec{A} \) ve \( \vec{B} \) vektörlerinin büyüklükleri sırasıyla 5 ve 12 birimdir. Bu iki vektörün toplamının büyüklüğü 13 birim olduğuna göre, vektörler arasındaki açı kaç derecedir?
A) 0
B) 45
C) 90
D) 180
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki vektörün büyüklükleri ve bu iki vektörün toplamının büyüklüğü verilmiş. Bizden bu vektörler arasındaki açıyı bulmamız isteniyor. Vektörlerle ilgili temel formülleri kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- Adım 1: Verilenleri Belirleyelim
- $\vec{A}$ vektörünün büyüklüğü: $|\vec{A}| = 5$ birim
- $\vec{B}$ vektörünün büyüklüğü: $|\vec{B}| = 12$ birim
- Toplam vektörün büyüklüğü: $|\vec{A} + \vec{B}| = 13$ birim
- Aradığımız: Vektörler arasındaki açı $\theta$.
- Adım 2: Vektör Toplamının Büyüklük Formülünü Hatırlayalım
- İki vektörün toplamının büyüklüğünü bulmak için kosinüs teoremini temel alan şu formülü kullanırız:
- $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$
- Burada $\theta$, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri arasındaki açıdır.
- Adım 3: Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- $(13)^2 = (5)^2 + (12)^2 + 2(5)(12)\cos\theta$
- Adım 4: Denklemi Çözelim
- $169 = 25 + 144 + 120\cos\theta$
- $169 = 169 + 120\cos\theta$
- Şimdi $169$'u denklemin diğer tarafına atalım:
- $169 - 169 = 120\cos\theta$
- $0 = 120\cos\theta$
- $\cos\theta = \frac{0}{120}$
- $\cos\theta = 0$
- Adım 5: Açıyı Bulalım
- Kosinüsü $0$ olan açı $90^\circ$'dir.
- Yani, $\theta = 90^\circ$.
- Ek Bilgi (Pisagor Teoremi ile İlişki):
- Fark ettiniz mi? $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Bu değer, toplam vektörün büyüklüğünün karesine ($13^2 = 169$) eşittir. Bu durum, dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki Pisagor bağıntısını hatırlatır. Eğer iki vektörün toplamının büyüklüğü, vektörlerin büyüklüklerinin karelerinin toplamının kareköküne eşitse (yani Pisagor bağıntısı sağlanıyorsa), bu vektörler birbirine diktir. Bu da sonucumuzla tamamen tutarlıdır.
Cevap C seçeneğidir.
