Binom açılımında sabit terim nasıl bulunur Test 1

$(x^3 + \frac{2}{x})^5$ ifadesinin açılımındaki sabit terim ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Sabit terim 10'dur
B) Sabit terim 40'tır
C) Sabit terim 80'dir
D) Sabit terim yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün $(x^3 + \frac{2}{x})^5$ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Sabit terim, $x$'in kuvvetinin $0$ olduğu, yani $x^0=1$ olan terimdir. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Binom Açılımının Genel Terim Formülünü Hatırlayalım

$(a+b)^n$ şeklindeki bir ifadenin açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülünü kullanırız. $(r+1)$. terim $T_{r+1}$ ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:

• $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
• Adım 2: İfademizdeki $a$, $b$ ve $n$ Değerlerini Belirleyelim

Bize verilen ifade $(x^3 + \frac{2}{x})^5$ şeklindedir. Bu ifadeyi genel formülle karşılaştırırsak:

• $a = x^3$
• $b = \frac{2}{x}$ (veya üslü ifade olarak $2x^{-1}$)
• $n = 5$
• Adım 3: Genel Terim Formülünü İfademize Uygulayalım

Bulduğumuz $a$, $b$ ve $n$ değerlerini genel terim formülünde yerine yazalım:

• $T_{r+1} = \binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (\frac{2}{x})^r$
• Adım 4: Terimi Sadeleştirerek $x$'in Kuvvetini Belirleyelim

Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim ve $x$'li terimleri bir araya getirelim. Unutmayın, üslü ifadelerde $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ve $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ kurallarını kullanacağız:

• $T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{3(5-r)} (2x^{-1})^r$
• $T_{r+1} = \binom{5}{r} x^{15-3r} 2^r x^{-r}$
• $T_{r+1} = \binom{5}{r} 2^r x^{15-3r-r}$
• $T_{r+1} = \binom{5}{r} 2^r x^{15-4r}$

Bu, açılımdaki herhangi bir terimin genel halidir. Sabit terimi bulmak için $x$'in kuvvetinin $0$ olması gerekir.

• Adım 5: Sabit Terim İçin $x$'in Kuvvetini $0$'a Eşitleyelim

Bir terimin sabit terim olabilmesi için $x$'in kuvveti $0$ olmalıdır. Yani $x^{15-4r}$ ifadesindeki $15-4r$ değerini $0$'a eşitlemeliyiz:

• $15 - 4r = 0$
• Adım 6: $r$ Değerini Bulalım

Denklemi çözerek $r$ değerini bulalım:

• $15 = 4r$
• $r = \frac{15}{4}$
• Adım 7: $r$ Değerini Yorumlayalım ve Sonuca Ulaşalım

Binom açılımında $r$ değeri, mutlaka bir tam sayı olmalıdır ve $0 \le r \le n$ koşulunu sağlamalıdır. Bizim durumumuzda $n=5$ olduğu için $r$ değeri $0, 1, 2, 3, 4, 5$ tam sayılarından biri olmalıdır.

• Ancak bulduğumuz $r = \frac{15}{4} = 3.75$ bir tam sayı değildir.
• Bu durum, açılımda $x$'in kuvvetinin $0$ olacağı, yani sabit terim olacak bir $r$ tam sayısının bulunmadığı anlamına gelir.
• Dolayısıyla, verilen ifadenin açılımında sabit terim yoktur.

Cevap D seçeneğidir.