Sevgili öğrenciler, $(a+b)^3$ ifadesinin açılımını bulmak için adım adım ilerleyelim. Bu tür ifadelerin açılımı, cebirde sıkça karşımıza çıkan önemli bir konudur.
- Öncelikle, bir sayının küpünün ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir ifadenin küpü, o ifadenin kendisiyle üç kez çarpılması demektir. Yani, $(a+b)^3 = (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)$ şeklinde yazabiliriz.
- Şimdi bu çarpma işlemini adım adım gerçekleştirelim. İlk olarak, ilk iki $(a+b)$ ifadesini çarpalım. Bu, bildiğimiz tam kare özdeşliğidir: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Şimdi elde ettiğimiz bu sonucu, üçüncü $(a+b)$ ifadesiyle çarpalım: $(a^2 + 2ab + b^2) \cdot (a+b)$.
- Bu çarpma işlemini yaparken, birinci parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle tek tek çarpmamız gerekiyor. Önce $a$ terimini $(a^2 + 2ab + b^2)$ ifadesiyle dağıtalım: $a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2$.
- Şimdi de $b$ terimini $(a^2 + 2ab + b^2)$ ifadesiyle dağıtalım: $b \cdot (a^2 + 2ab + b^2) = b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^2b + 2ab^2 + b^3$.
- Bu iki çarpımın sonuçlarını toplayalım: $(a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$.
- Şimdi benzer terimleri birleştirelim. Benzer terimler, aynı harf ve üs kombinasyonuna sahip terimlerdir:
- $a^3$ terimi tek başına kalır.
- $2a^2b$ ve $a^2b$ terimlerini toplarsak $2a^2b + a^2b = 3a^2b$ elde ederiz.
- $ab^2$ ve $2ab^2$ terimlerini toplarsak $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ elde ederiz.
- $b^3$ terimi tek başına kalır.
- Tüm bu terimleri birleştirdiğimizde, $(a+b)^3$ ifadesinin açılımını elde ederiz: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
- Bu açılım, aynı zamanda Binom Açılımı (Binomial Theorem) kullanılarak da bulunabilir. Binom Açılımı'na göre $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ formülüyle genel bir ifade açılabilir. Burada $n=3$ için katsayılar $\binom{3}{0}=1$, $\binom{3}{1}=3$, $\binom{3}{2}=3$, $\binom{3}{3}=1$ olacaktır.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz açılımın B seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
