Bir XYZ üçgeninde, Y köşesindeki dış açıortay, XZ kenarının uzantısını T noktasında kesmektedir. |XY| = 15 birim, |YZ| = 10 birim ve |XT| = 45 birim olduğuna göre, XYZ üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 30XYZ üçgeninin çevresini bulmak için öncelikle verilen bilgileri kullanarak XZ kenarının uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bu soruyu çözmek için dış açıortay teoremini kullanacağız. Dış açıortay teoremi, bir üçgenin bir köşesindeki dış açısının açıortayının karşı kenarı kestiği noktanın, kenarın bitiş noktalarına olan uzaklıkları arasındaki oranı, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşitler.
Y köşesindeki dış açıortay XZ kenarının uzantısını T noktasında kesiyor. Dış açıortay teoremine göre:
|XY| / |YZ| = |XT| / |ZT|
Verilen değerleri yerine koyalım:
15 / 10 = 45 / |ZT|
Oranı çözerek |ZT| uzunluğunu bulalım:
15 * |ZT| = 10 * 45
15 * |ZT| = 450
|ZT| = 450 / 15
|ZT| = 30 birim
Şimdi |XZ| uzunluğunu bulmak için |ZT| uzunluğundan |XT| uzunluğunu çıkarmalıyız:
|XZ| = |ZT| - |XT|
|XZ| = 30 - 45
Ancak burada bir hata var. |XT| = 45 ve |ZT| = 30 bulduk. Bu durumda T noktası Z noktasının solunda olamaz. Soruyu tekrar inceleyelim. Dış açıortay teoremini doğru uyguladık. Ancak |ZT| uzunluğu |XT|'den küçük olamaz. Bu durumda |XZ| = |XT| - |ZT| olmalı.
|XZ| = |XT| - |ZT|
|XZ| = 45 - 30
|XZ| = 15 birim
XYZ üçgeninin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir:
Çevre = |XY| + |YZ| + |XZ|
Çevre = 15 + 10 + 15
Çevre = 40 birim
Cevap C seçeneğidir.
