Bir doğru ile bir parabolün birbirine göre durumları Test 1

y = x² parabolüne üzerindeki (2,4) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 4x - 4
B) y = 2x + 4
C) y = 4x + 2
D) y = 2x - 4

Bir parabolün üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin denklemini bulmak için türev kavramını kullanırız. Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki eğimini (yani teğetin eğimini) verir.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma

  Öncelikle, verilen parabolün denklemi $y = x^2$'dir. Teğetin eğimini bulmak için bu fonksiyonun türevini almamız gerekir.

  $rac{dy}{dx} = rac{d}{dx}(x^2) = 2x$

  Bu türev, parabolün herhangi bir $x$ noktasındaki teğetinin eğimini verir.

• Adım 2: Teğetin Eğimini Hesaplama

  Teğetin çizildiği nokta $(2,4)$ olarak verilmiştir. Bu noktadaki teğetin eğimini bulmak için, bulduğumuz türev ifadesinde $x$ yerine $2$ yazmalıyız.

  $m = 2x |_{x=2} = 2(2) = 4$

  Yani, $(2,4)$ noktasından çizilen teğetin eğimi $m=4$'tür.

• Adım 3: Teğet Denklemini Yazma

  Bir noktası $(x_1, y_1)$ ve eğimi $m$ olan bir doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülü ile bulunur.

  Bizim durumumuzda:

  • $(x_1, y_1) = (2,4)$
  • $m = 4$

  Bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $y - 4 = 4(x - 2)$

• Adım 4: Denklemi Düzenleme

  Şimdi denklemi daha basit bir formda yazalım ve seçeneklerle karşılaştıralım:

  $y - 4 = 4x - 8$

  $y = 4x - 8 + 4$

  $y = 4x - 4$

  Bu denklem, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.