sin(x) fonksiyonunun türevi Test 1

Bir hareketlinin konum-zaman denklemi x(t) = 5sin(2t) olarak veriliyor. Bu hareketlinin t = π/4 anındaki hızı kaçtır?

A) 0
B) 5
C) 10
D) -10

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir hareketlinin konum denklemi verilmiş ve belirli bir andaki hızını bulmamız isteniyor. Fizikte ve matematikte bu tür problemleri çözmek için türev alma kurallarını kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Konum Denklemini Anlayalım:

  Bize hareketlinin konum-zaman denklemi $x(t) = 5\sin(2t)$ olarak verilmiş. Bu denklem, hareketlinin herhangi bir $t$ anındaki konumunu (yerini) ifade eder.

• 2. Hız ve Konum Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım:

  Bir hareketlinin hızı, konum denkleminin zamana göre birinci türevi alınarak bulunur. Yani, hız denklemi $v(t) = \frac{dx}{dt}$ şeklindedir.

• 3. Konum Denkleminin Türevini Alalım (Hız Denklemini Bulalım):

  Şimdi $x(t) = 5\sin(2t)$ denkleminin $t$'ye göre türevini alalım. Türev alırken zincir kuralını (chain rule) kullanacağız:

  • $\sin(u)$ fonksiyonunun türevi $\cos(u) \cdot \frac{du}{dt}$ şeklindedir.
  • Burada $u = 2t$. Bu durumda $\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2$ olur.
  • Denklemdeki 5 sabiti türev dışına aynen çıkar.

  Buna göre, hız denklemi $v(t) = \frac{d}{dt}(5\sin(2t)) = 5 \cdot \cos(2t) \cdot 2 = 10\cos(2t)$ olur.

• 4. Belirtilen Andaki Hızı Hesaplayalım:

  Bizden $t = \pi/4$ anındaki hız isteniyor. Bulduğumuz hız denkleminde $t$ yerine $\pi/4$ yazalım:

  $v(\pi/4) = 10\cos(2 \cdot \pi/4)$

  $v(\pi/4) = 10\cos(\pi/2)$

• 5. Trigonometrik Değeri Bulalım:

  Trigonometrik bir değer olan $\cos(\pi/2)$'nin değeri 0'dır. ($\pi/2$ radyan, 90 dereceye karşılık gelir ve $\cos(90^\circ) = 0$).

  Bu değeri denklemde yerine koyalım:

  $v(\pi/4) = 10 \cdot 0$

  $v(\pi/4) = 0$

Buna göre, hareketlinin $t = \pi/4$ anındaki hızı 0'dır.

Cevap A seçeneğidir.