Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, trigonometrik bir denklemin belirli bir aralıktaki köklerini bulma problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür soruları çözerken dikkatli olmak ve her adımı doğru uygulamak çok önemlidir.
- Adım 1: Temel Açıları Belirleme
- Öncelikle, $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ eşitliğini sağlayan temel açıları bulmamız gerekiyor.
- Birinci bölgede bu açının $\theta = \frac{\pi}{6}$ (yani $30^\circ$) olduğunu biliyoruz, çünkü $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$'dir.
- Sinüs fonksiyonu pozitif olduğu için, ikinci bölgede de bir çözüm vardır. İkinci bölgedeki açı $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$'dır. Yani $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$'dir.
- Adım 2: Genel Çözümleri Yazma
- $\sin(A) = \sin(B)$ şeklindeki bir denklemin genel çözümleri iki farklı formda yazılır:
- $A = B + 2k\pi$ (Burada $k$ bir tam sayıdır.)
- $A = (\pi - B) + 2k\pi$ (Burada $k$ bir tam sayıdır.)
- Bizim denklemimiz $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ olduğundan, $A = 2x$ ve $B = \frac{\pi}{6}$ alabiliriz.
- Bu durumda, $2x$ için genel çözümler şunlar olur:
- Birinci çözüm kümesi: $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
- İkinci çözüm kümesi: $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
- Adım 3: $x$ Değerlerini Bulma
- Şimdi her iki çözüm kümesini de $x$ için çözelim. Bunun için her iki denklemi de $2$'ye bölmemiz gerekiyor:
- Birinci çözüm kümesinden: $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$
- İkinci çözüm kümesinden: $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$
- Adım 4: Belirtilen Aralıktaki Kökleri Bulma ($[0, 2\pi)$)
- Şimdi $k$ tam sayı değerleri vererek $x$ değerlerinin $[0, 2\pi)$ aralığında olanlarını bulalım. Unutmayın, $2\pi$ dahil değildir.
- Birinci denklem için ($x = \frac{\pi}{12} + k\pi$):
- $k=0$ için: $x = \frac{\pi}{12}$. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.
- $k=1$ için: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.
- $k=2$ için: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$. Bu değer $2\pi$'den büyük olduğu için aralık dışındadır.
- $k=-1$ için: $x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$. Bu değer $0$'dan küçük olduğu için aralık dışındadır.
- İkinci denklem için ($x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$):
- $k=0$ için: $x = \frac{5\pi}{12}$. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.
- $k=1$ için: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{5\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Bu değer $[0, 2\pi)$ aralığındadır.
- $k=2$ için: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{29\pi}{12}$. Bu değer $2\pi$'den büyük olduğu için aralık dışındadır.
- $k=-1$ için: $x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12}$. Bu değer $0$'dan küçük olduğu için aralık dışındadır.
- Adım 5: Kökleri Sayma
- Belirtilen $[0, 2\pi)$ aralığında bulduğumuz kökler şunlardır:
- $\frac{\pi}{12}$
- $\frac{13\pi}{12}$
- $\frac{5\pi}{12}$
- $\frac{17\pi}{12}$
- Bu köklerin hepsi birbirinden farklıdır ve verilen aralıkta yer almaktadır.
- Toplamda $4$ farklı kök bulunmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
