🎓 Arcsin (Ark sinüs) nedir Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, "Arcsin (Ark sinüs) nedir Test 1" sınavında karşılaşabileceğiniz temel Arcsin kavramlarını, tanım ve görüntü kümelerini, özel değerlerini ve özelliklerini sade bir dille özetlemektedir.
📌 Arcsin (Ark Sinüs) Nedir?
Arcsin (Ark sinüs) fonksiyonu, sinüs fonksiyonunun tersidir. Basitçe ifade etmek gerekirse, bize belirli bir sinüs değerini veren açıyı bulmamızı sağlar.
- Eğer bir açının sinüs değeri $x$ ise (yani $\sin(\theta) = x$), o zaman bu açıyı $\theta = \arcsin(x)$ şeklinde ifade ederiz.
- $\arcsin(x)$ ifadesi, "sinüsü $x$ olan açı" anlamına gelir.
- Örneğin, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ olduğu için, $\arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$ veya radyan cinsinden $\frac{\pi}{6}$'dır.
💡 İpucu: $\arcsin(x)$'in sonucu her zaman bir açıdır (derece veya radyan cinsinden), bir sayı oranı değildir!
📌 Arcsin Fonksiyonunun Tanım ve Görüntü Kümesi
Sinüs fonksiyonu birebir olmadığı için, tersini (Arcsin) alabilmek adına sinüs fonksiyonunun tanım kümesini belirli bir aralıkla kısıtlarız. Bu sayede Arcsin fonksiyonu tek bir sonuç verir.
- Tanım Kümesi (Domain): Arcsin fonksiyonuna girebilecek $x$ değerleri, sinüs fonksiyonunun alabileceği değerlerdir. Bu değerler $[-1, 1]$ aralığındadır. Yani, $\arcsin(x)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $x \in [-1, 1]$ olmalıdır.
- Görüntü Kümesi (Range): Arcsin fonksiyonunun sonucunda elde edeceğimiz açılar, kısıtlanmış sinüs fonksiyonunun tanım kümesidir. Bu aralık genellikle $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ radyan veya $[-90^\circ, 90^\circ]$ derece olarak alınır.
⚠️ Dikkat: $\arcsin(1.5)$ veya $\arcsin(-2)$ gibi ifadeler tanımsızdır, çünkü sinüs fonksiyonu asla 1'den büyük veya -1'den küçük bir değer alamaz.
📌 Arcsin Fonksiyonunun Özel Değerleri
Bazı standart açılar için sinüs değerlerini bilmek, Arcsin sorularını çözerken size büyük kolaylık sağlar.
- $\arcsin(0) = 0$ (Çünkü $\sin(0) = 0$)
- $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ veya $30^\circ$ (Çünkü $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$)
- $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ veya $45^\circ$ (Çünkü $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$)
- $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ veya $60^\circ$ (Çünkü $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$)
- $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ veya $90^\circ$ (Çünkü $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$)
- $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ veya $-30^\circ$ (Çünkü $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$)
💡 İpucu: Negatif değerler için $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$ kuralını unutmayın. Bu, Arcsin fonksiyonunun tek (orijine göre simetrik) bir fonksiyon olduğunu gösterir.
📌 Arcsin Fonksiyonunun Temel Özellikleri
Arcsin fonksiyonunun bazı temel özellikleri, hesaplamalarda ve sadeleştirmelerde işinize yarar.
- $\sin(\arcsin(x)) = x$ (Tanım kümesi $x \in [-1, 1]$ için geçerlidir.)
- $\arcsin(\sin(\theta)) = \theta$ (Görüntü kümesi $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ için geçerlidir.)
- $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$ (Fonksiyon tektir.)
- $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ (Tanım kümesi $x \in [-1, 1]$ için geçerlidir.)
📝 Örnek: $\sin(\arcsin(0.7))$ ifadesinin değeri $0.7$'dir. Ancak $\arcsin(\sin(2\pi))$ ifadesinin değeri $0$'dır, çünkü $2\pi$ açısı Arcsin'in görüntü kümesi dışında kalır ve $\sin(2\pi) = 0$ olduğu için $\arcsin(0)=0$ olur.
