İki küp toplamı (a³+b³) Test 1

\(a^3 + b^3 = 72\) ve \(a + b = 6\) olduğuna göre \(a \cdot b\) kaçtır?

A) 6
B) 8
C) 9
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruyu çözmek için, cebirsel özdeşlikleri kullanacağız. Özellikle küpler toplamı özdeşliği ve tam kare özdeşliği bize yardımcı olacak.

• Adım 1: Verilenleri ve isteneni belirleyelim.

  Bize verilenler: $a^3 + b^3 = 72$ ve $a + b = 6$.

  Bizden istenen: $a \cdot b$ değerini bulmak.

• Adım 2: Küpler toplamı özdeşliğini hatırlayalım ve kullanalım.

  Küpler toplamı özdeşliği şöyledir: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

  Şimdi verilen değerleri bu özdeşlikte yerine yazalım:

  $72 = (6)(a^2 - ab + b^2)$

• Adım 3: Denklemi sadeleştirelim.

  Eşitliğin her iki tarafını $6$'ya bölelim:

  $\frac{72}{6} = a^2 - ab + b^2$

  $12 = a^2 - ab + b^2$

• Adım 4: Tam kare özdeşliğini kullanarak $a^2 + b^2$ ifadesini düzenleyelim.

  $(a + b)^2$ özdeşliğini hatırlayalım: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Bu özdeşlikten $a^2 + b^2$ ifadesini çekebiliriz: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.

• Adım 5: Adım 3'teki denklemde $a^2 + b^2$ yerine bulduğumuz ifadeyi yazalım.

  Adım 3'teki denklemimiz: $12 = a^2 - ab + b^2$.

  Bu denklemi $12 = (a^2 + b^2) - ab$ şeklinde yazabiliriz.

  Şimdi $a^2 + b^2$ yerine $(a + b)^2 - 2ab$ yazalım:

  $12 = ((a + b)^2 - 2ab) - ab$

  $12 = (a + b)^2 - 3ab$

• Adım 6: Verilen $a + b$ değerini yerine yazarak $a \cdot b$ değerini bulalım.

  Bize $a + b = 6$ olarak verilmişti. Bu değeri denklemde yerine yazalım:

  $12 = (6)^2 - 3ab$

  $12 = 36 - 3ab$

  Şimdi $3ab$ terimini yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:

  $3ab = 36 - 12$

  $3ab = 24$

  Her iki tarafı $3$'e bölelim:

  $ab = \frac{24}{3}$

  $ab = 8$

Böylece $a \cdot b$ değerini $8$ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.