İki küp toplamı (a³+b³) Test 1

\(m^3 + n^3 = 91\) ve \(m + n = 7\) olduğuna göre \(m^2 - mn + n^2\) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 11
B) 13
C) 15
D) 17

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için küpler toplamı özdeşliğini kullanacağız. Bu özdeşlik, cebirde sıkça karşılaştığımız ve bize çok yardımcı olan önemli bir formüldür.

• Adım 1: Küpler Toplamı Özdeşliğini Hatırlayalım

  İki sayının küpleri toplamı için genel bir formülümüz vardır: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

  Bu soruda $a$ yerine $m$ ve $b$ yerine $n$ kullanıldığı için, özdeşliği $m$ ve $n$ cinsinden yazabiliriz:

  $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$

• Adım 2: Verilen Bilgileri Özdeşlikte Yerine Koyalım

  Soruda bize iki bilgi verilmişti:

  Birincisi: $m^3 + n^3 = 91$

  İkincisi: $m + n = 7$

  Şimdi bu değerleri özdeşliğimizde yerine yazalım:

  $91 = (7)(m^2 - mn + n^2)$

• Adım 3: İstenen İfadeyi Bulmak İçin Denklem Çözelim

  Denklemimiz $91 = 7 \cdot (m^2 - mn + n^2)$ şeklindeydi. Bizden istenen ifade $m^2 - mn + n^2$ olduğu için, bu ifadeyi yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $7$'ye bölelim:

  $\frac{91}{7} = m^2 - mn + n^2$

  $13 = m^2 - mn + n^2$

• Adım 4: Sonucu Belirleyelim

  Yaptığımız işlemler sonucunda $m^2 - mn + n^2$ ifadesinin değerini $13$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.