9. Sınıf Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilerin Matematiksel İspat ve Algoritmalardaki İşlevleri Nedir? Test 1

6. Aşağıdaki koşullu önermenin doğru olabilmesi için hangi durum yanlıştır?
"Eğer bir sayı 4'e bölünüyorsa, o zaman 2'ye de bölünür"

A) Sayı 4'e bölünür ve 2'ye bölünür
B) Sayı 4'e bölünmez ve 2'ye bölünür
C) Sayı 4'e bölünmez ve 2'ye bölünmez
D) Sayı 4'e bölünür ve 2'ye bölünmez

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantık konusundaki koşullu önermeleri ve bunların doğruluk değerlerini anlamamız gerekiyor. Koşullu önermeler, "Eğer ... ise ..." şeklinde kurulan cümlelerdir.

• 1. Koşullu Önermeyi Tanımlayalım:

  Verilen önerme: "Eğer bir sayı 4'e bölünüyorsa, o zaman 2'ye de bölünür."

  Bu önermeyi matematiksel mantıkta $p \implies q$ şeklinde gösterebiliriz. Burada:

  • $p$: "bir sayı 4'e bölünür" (öncül veya hipotez)
  • $q$: "bir sayı 2'ye bölünür" (sonuç veya hüküm)
• 2. Koşullu Önermenin Ne Zaman Yanlış Olduğunu Hatırlayalım:

  Bir koşullu önerme ($p \implies q$), sadece ve sadece öncül ($p$) doğru iken sonuç ($q$) yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda (öncül doğru ve sonuç doğru; öncül yanlış ve sonuç doğru; öncül yanlış ve sonuç yanlış) koşullu önerme doğru kabul edilir.

  Yani, $p$ doğru (D) ve $q$ yanlış (Y) ise, $p \implies q$ önermesi YANLIŞTIR.

• 3. Seçenekleri İnceleyelim:

  Şimdi her bir seçenekte $p$ ve $q$'nun doğruluk değerlerini belirleyip, koşullu önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu bulalım:

  • A) Sayı 4'e bölünür ve 2'ye bölünür
    • $p$: "Sayı 4'e bölünür" $\rightarrow$ Doğru (D)
    • $q$: "Sayı 2'ye bölünür" $\rightarrow$ Doğru (D)
    • Bu durumda ($p$ doğru, $q$ doğru), koşullu önerme ($D \implies D$) DOĞRUDUR. (Örnek: 8 sayısı)
  • B) Sayı 4'e bölünmez ve 2'ye bölünür
    • $p$: "Sayı 4'e bölünür" $\rightarrow$ Yanlış (Y)
    • $q$: "Sayı 2'ye bölünür" $\rightarrow$ Doğru (D)
    • Bu durumda ($p$ yanlış, $q$ doğru), koşullu önerme ($Y \implies D$) DOĞRUDUR. (Örnek: 6 sayısı)
  • C) Sayı 4'e bölünmez ve 2'ye bölünmez
    • $p$: "Sayı 4'e bölünür" $\rightarrow$ Yanlış (Y)
    • $q$: "Sayı 2'ye bölünür" $\rightarrow$ Yanlış (Y)
    • Bu durumda ($p$ yanlış, $q$ yanlış), koşullu önerme ($Y \implies Y$) DOĞRUDUR. (Örnek: 3 sayısı)
  • D) Sayı 4'e bölünür ve 2'ye bölünmez
    • $p$: "Sayı 4'e bölünür" $\rightarrow$ Doğru (D)
    • $q$: "Sayı 2'ye bölünür" $\rightarrow$ Yanlış (Y)
    • Bu durumda ($p$ doğru, $q$ yanlış), koşullu önerme ($D \implies Y$) YANLIŞTIR. Bu, koşullu önermenin yanlış olduğu tek durumdur.
• 4. Sonuç:

  Koşullu önermenin yanlış olabilmesi için öncülün ($p$) doğru ve sonucun ($q$) yanlış olması gerekir. Bu durum D seçeneğinde verilmiştir.

Cevap D seçeneğidir.