Soru:
Bir algoritma, bir \( n \times n \) matrisinin simetrik olup olmadığını kontrol etmek istiyor. Simetrik matris, her \( i, j \) için \( a_{ij} = a_{ji} \) koşulunu sağlar. Bu koşulu mantık bağlaçları ve niceleyiciler kullanarak nasıl ifade edersiniz ve bu ifade algoritmanın mantığını nasıl yönlendirir?
Çözüm:
💡 Simetri koşulunu matematiksel mantık diline çevirerek algoritmanın temel karar mekanizmasını oluşturabiliriz.
- ➡️ Matematiksel İfade: Bir \( A \) matrisinin simetrik olması için, her \( i \) ve her \( j \) için \( a_{ij} = a_{ji} \) olmalıdır. Bu, evrensel niceleyici (\( \forall \)) ile şöyle yazılır:
\( \forall i \, \forall j \, (a_{ij} = a_{ji}) \)
- ➡️ Algoritmaya Dönüşüm: Bu ifade, algoritmada iç içe iki döngü (biri \( i \), diğeri \( j \) için) kullanmamız gerektiğini söyler. Algoritma, tüm \( i, j \) çiftleri için \( a_{ij} \) ve \( a_{ji} \) değerlerini karşılaştıracaktır.
- ➡️ Mantık Bağlacının İşlevi: Koşul bir VE (\( \land \)) bağlacı gerektirir. Çünkü tüm \( i, j \) çiftleri için koşulun doğru olması gerekir. Algoritmada, tek bir \( a_{ij} \neq a_{ji} \) durumu bile (yani, \( \lnot (a_{ij} = a_{ji}) \) ) matrisin simetrik olmadığını kanıtlamak için yeterlidir. Bu, karşıt örnek bulma mantığıdır.
✅ Sonuç: Mantık ifadesi \( \forall i \, \forall j \, (a_{ij} = a_{ji}) \), algoritmanın yapısını (iç içe döngüler) ve çıkış koşulunu (eşitlik bozulduğunda "yanlış" döndür) belirler.
