Soru:
Aşağıdaki teoremin ispatını düşünün: "Her tam sayının karesi negatif değildir." Bu teoremi ispatlamak için hangi mantık yapısı ve niceleyici kullanılır? İspatı adım adım mantık bağlaçları ve niceleyiciler üzerinden açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu teorem, evrensel niceleyici (∀) ve koşullu önerme (→) içeren tipik bir yapıdadır. İspat yöntemi olarak doğrudan ispat kullanılır.
- ➡️ İfadeyi sembolize edelim: \( \forall n \in \mathbb{Z}, \, n^2 \geq 0 \).
- ➡️ Evrensel niceleyiciyi ispatlamak için, keyfi bir eleman seçeriz. \( n \) herhangi bir tam sayı olsun.
- ➡️ Koşullu önermenin (\( n \in \mathbb{Z} \rightarrow n^2 \geq 0 \)) hipotezini kabul edip, hükmünü (\( n^2 \geq 0 \)) göstermeliyiz.
- ➡️ İspat adımları:
- 1. Varsayım: \( n \) bir tam sayıdır. (Hipotez kabulü)
- 2. Durum analizi (Veya bağlacı ∨): Bir tam sayı ya negatiftir (\( n < 0 \)), ya sıfırdır (\( n = 0 \)), ya da pozitiftir (\( n > 0 \)). Bu durumların her birinde \( n^2 \geq 0 \) olduğunu göstermeliyiz.
- 3. Sonuç: Tüm durumlarda \( n^2 \geq 0 \) sonucuna varılır. Keyfi bir \( n \) için bu doğru olduğundan, evrensel niceleyici ile ifade edilen önerme de doğrudur.
✅ Sonuç: İspat, \( \mathbf{\forall} \) niceleyicisinin gerektirdiği gibi keyfi bir eleman üzerinden ve \( \mathbf{\lor} \) (veya) bağlacının kapsadığı tüm durumlar incelenerek tamamlanır.
