Soru:
"Sürekli olan her fonksiyon türevlenebilir değildir" ifadesini matematiksel mantık kullanarak yazınız. Bu ifadenin doğruluğunu kanıtlamak için hangi ispat tekniği kullanılır ve bu teknikte niceleyiciler nasıl kullanılır?
Çözüm:
💡 Bu ifade, "hepsi" anlamına gelen bir iddiayı reddetmektedir, dolayısıyla bir karşı örnek (counterexample) sunmak yeterlidir.
- ➡️ Matematiksel İfade: Önce "Sürekli olan her fonksiyon türevlenebilirdir" iddiasını yazalım:
\( \forall f \, ( \text{C}(f) \implies \text{D}(f) ) \)
Burada \( \text{C}(f) \) "f süreklidir", \( \text{D}(f) \) ise "f türevlenebilirdir" anlamına gelir.
Bizim ifademiz bu iddianın olumsuzudur: \( \lnot [\forall f \, ( \text{C}(f) \implies \text{D}(f) )] \)
- ➡️ Niceleyici Kurallarını Uygula: Olumsuzluk, niceleyicinin içine girip değiştirir. Kural: \( \lnot \forall x \, P(x) \equiv \exists x \, \lnot P(x) \)
Buna göre ifademiz şuna eşdeğerdir:
\( \exists f \, \lnot ( \text{C}(f) \implies \text{D}(f) ) \)
- ➡️ İmkansızlığı Sorgula: \( p \implies q \) ifadesinin olumsuzu \( p \land \lnot q \)'dur.
Son ifademiz: \( \exists f \, ( \text{C}(f) \land \lnot \text{D}(f) ) \)
Yani: Öyle bir f fonksiyonu vardır ki, bu fonksiyon süreklidir AMA türevlenebilir değildir.
- ➡️ İspat Tekniği ve Niceleyicinin İşlevi: Artık ifade bir varlık (\( \exists \)) niceleyicisi içermektedir. Bunu kanıtlamanın en doğrudan yolu, bu özelliklere sahip somut bir fonksiyon (karşı örnek) bulmaktır. Örneğin, \( f(x) = |x| \) fonksiyonu \( x=0 \) noktasında süreklidir (\( \text{C}(f) \) doğru) ancak bu noktada türevli değildir (\( \lnot \text{D}(f) \) doğru).
✅ Sonuç: Bir "her" (\( \forall \)) iddiasını çürütmek, bir "vardır" (\( \exists \)) iddiasını kanıtlamaya eşdeğerdir. Niceleyici kuralları, ispat yükünü "tüm fonksiyonları incele"den "tek bir fonksiyon göster"e indirger, bu da ispatı büyük ölçüde basitleştirir.
