Soru:
"Her pozitif tam sayının kendisinden büyük bir asal sayı bulunur" ifadesini matematiksel mantık kullanarak yazınız. Bu ifadeyi kanıtlamak için hangi ispat yöntemi uygundur ve niceleyiciler bu yöntemin seçiminde nasıl bir rol oynar?
Çözüm:
💡 Bu ifade, sonsuzluk içeren bir iddiayı temsil eder ve ispat yapısını anlamak için onu mantıksal sembollere dökmek gerekir.
- ➡️ Matematiksel İfade: İfadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\( \forall n \in \mathbb{Z}^+ \, \exists p \in \mathbb{P} \, (p > n) \)
Burada \( \mathbb{Z}^+ \) pozitif tam sayılar ve \( \mathbb{P} \) asal sayılar kümesidir. Niceleyicilerin sırası çok önemlidir: Her \( n \) için, en az bir \( p \) asal sayısı vardır.
- ➡️ İspat Yöntemi: Bu tür bir "her... için vardır" ifadesi, genellikle bir olmayana ergi yöntemi (proof by contradiction) ile kanıtlanır. Çünkü sonlu bir en büyük asal sayı olduğunu varsayarak bir çelişkiye ulaşmak, "her n için var olan" bir p'yi doğrudan oluşturmaktan daha kolaydır.
- ➡️ Niceleyicilerin İşlevi: \( \forall n \) ifadesi, ispatın keyfi bir n seçerek başlaması gerektiğini söyler. \( \exists p \) ifadesi ise amacımızın bu \( n \)'den büyük somut bir \( p \) asalı bulmak (veya varlığını göstermek) olduğunu belirtir. Olmayana ergi yönteminde, \( \exists p \, (p > n) \) ifadesinin yanlış olduğunu, yani \( \forall p \in \mathbb{P} \, (p \le n) \) olduğunu varsayarız ve buradan bir çelişki (örneğin, Euclid'in ispatındaki gibi) türetiriz.
✅ Sonuç: Niceleyicilerin türü (\( \forall \) ve \( \exists \)) ve sırası, uygulanacak ispat tekniğinin seçiminde doğrudan belirleyicidir.
