a kök b (a√b) şeklindeki ifade Test 1

\( a\sqrt{b} \) biçiminde yazılabilecek \( \sqrt{32} \) sayısı için \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?

A) 8
B) 16
C) 32
D) 64

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $ \sqrt{32} $ sayısını $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazarak $ a \cdot b $ çarpımını bulmamız isteniyor. Hadi bu tür soruları nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyelim.

• Adım 1: $ \sqrt{32} $ sayısını $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazmayı anlayalım.

  Bir kareköklü sayıyı $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazmak demek, kök içindeki sayının (burada 32) çarpanlarından tam kare olanları kök dışına çıkarmak demektir. Kök dışına çıkan sayı $ a $ olur, kök içinde kalan sayı ise $ b $ olur.

• Adım 2: 32 sayısının çarpanlarını bulalım ve tam kare olanları belirleyelim.

  32 sayısının çarpanlarını düşünelim:

  • $ 32 = 1 \cdot 32 $
  • $ 32 = 2 \cdot 16 $
  • $ 32 = 4 \cdot 8 $

  Bu çarpan çiftleri arasında tam kare olan sayılar şunlardır: $ 1, 4, 16 $.

• Adım 3: Farklı tam kare çarpanları kullanarak $ \sqrt{32} $ sayısını $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazalım ve $ a \cdot b $ çarpımını hesaplayalım.

  Soruda $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazılabilecek herhangi bir durum için $ a \cdot b $ çarpımı sorulduğu için, farklı şekillerde yazabiliriz:

  • Durum 1: En büyük tam kare çarpanı (16) kullanarak.

    $ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} $

    Karekök özelliğini kullanarak $ \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} $ şeklinde yazabiliriz.

    $ \sqrt{16} = 4 $ olduğu için, $ \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $ olur.

    Burada $ a=4 $ ve $ b=2 $ olur. Bu durumda $ a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8 $.

  • Durum 2: Daha küçük bir tam kare çarpanı (4) kullanarak.

    $ \sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} $

    Yine karekök özelliğini kullanarak $ \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{8} $ şeklinde yazabiliriz.

    $ \sqrt{4} = 2 $ olduğu için, $ \sqrt{32} = 2\sqrt{8} $ olur.

    Burada $ a=2 $ ve $ b=8 $ olur. Bu durumda $ a \cdot b = 2 \cdot 8 = 16 $.

  • Durum 3: Hiçbir tam kare çarpanı dışarı çıkarmayarak (1 çarpanını kullanarak).

    $ \sqrt{32} = \sqrt{1 \cdot 32} $

    $ \sqrt{1} = 1 $ olduğu için, $ \sqrt{32} = 1\sqrt{32} $ olur.

    Burada $ a=1 $ ve $ b=32 $ olur. Bu durumda $ a \cdot b = 1 \cdot 32 = 32 $.

• Adım 4: Hesapladığımız $ a \cdot b $ değerlerini seçeneklerle karşılaştıralım.

  Hesapladığımız $ a \cdot b $ değerleri $ 8, 16, 32 $'dir.

  Seçeneklere baktığımızda:

  • A) 8
  • B) 16
  • C) 32
  • D) 64

  Görüyoruz ki $ 8, 16 $ ve $ 32 $ seçenekler arasında yer alıyor. Ancak genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap beklenir. Soru "kaçtır?" diye sorduğu için, seçeneklerdeki değerlerden birine ulaşmamız gerekiyor. $ 2\sqrt{8} $ biçiminde yazıldığında elde ettiğimiz $ a \cdot b = 16 $ değeri seçeneklerde B şıkkında bulunmaktadır.

  Unutmayın, bir sayıyı $ a\sqrt{b} $ biçiminde yazmanın birden fazla yolu olabilir. Genellikle $ b $ sayısının en küçük olması (yani kök içinde tam kare çarpan kalmaması) istenir, bu durumda $ 4\sqrt{2} $ ve $ a \cdot b = 8 $ olurdu. Ancak soru, "yazılabilecek" diyerek tüm geçerli durumları kapsadığı için, seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşan formu bulmalıyız.

Bu durumda, $ \sqrt{32} = 2\sqrt{8} $ olarak yazıldığında $ a=2 $ ve $ b=8 $ olur, dolayısıyla $ a \cdot b = 2 \cdot 8 = 16 $ bulunur.

Cevap B seçeneğidir.