5. \(\frac{x^2-25}{x^2-10x+25} \div \frac{x+5}{x-5}\) işleminin sonucu nedir?
A) 1Sevgili öğrenciler, bu soruda rasyonel ifadelerle bölme işlemi yapacağız. Rasyonel ifadelerle işlem yaparken çarpanlara ayırma bilgimizi kullanmak çok önemlidir. Adım adım ilerleyelim:
Rasyonel ifadelerde bölme işlemi yaparken, böldüğümüz kesrin (ikinci kesrin) çarpmaya göre tersini alıp (pay ile paydanın yerini değiştirip) çarpma işlemi yaparız. Yani, $A \div B = A \times \frac{1}{B}$ kuralını uygulayacağız.
İşlemimiz şu hale gelir: $\frac{x^2-25}{x^2-10x+25} \times \frac{x-5}{x+5}$
Şimdi, her bir ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Bu, sadeleştirme yapmamızı kolaylaştıracaktır:
Öncelikle, pay kısmındaki $x^2-25$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$). Burada $a=x$ ve $b=5$ olduğundan, $x^2-25 = (x-5)(x+5)$ olur.
Ardından, payda kısmındaki $x^2-10x+25$ ifadesi, tam kare özdeşliğidir ($(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$). Burada $a=x$ ve $b=5$ olduğundan, $x^2-10x+25 = (x-5)^2$ olur.
Diğer kesirdeki $x+5$ ve $x-5$ ifadeleri zaten en sade hallerindedir, yani çarpanlarına ayrılmış durumdadırlar.
Şimdi çarpanlara ayırdığımız ifadeleri denklemde yerine yazalım:
$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} \times \frac{x-5}{x+5}$
Çarpma işleminde pay ve paydada bulunan ortak çarpanları sadeleştirebiliriz. İfademizi çarpanlara ayrılmış haliyle tekrar yazalım:
$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x-5)} \times \frac{x-5}{x+5}$
Şimdi sadeleştirmeleri yapalım:
Paydaki $(x-5)$ çarpanı ile paydadaki $(x-5)$ çarpanlarından biri sadeleşir. Paydada bir tane $(x-5)$ kalır.
Paydaki $(x+5)$ çarpanı ile paydadaki $(x+5)$ çarpanı sadeleşir.
Bu sadeleştirmeler sonucunda elimizde kalan ifade şöyledir:
$\frac{1}{1} \times \frac{1}{1}$ (Tüm terimler sadeleştiği için 1 kalır)
Yani, tüm çarpanlar birbirini götürdüğü için işlemin sonucu $1$ olur.
Tüm sadeleştirmeler sonucunda işlemin sonucu $1$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
