6. \(\frac{4x^2-1}{2x^2+3x+1}\) ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{2x-1}{x+1}\)Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek sadeleştirme işlemini nasıl yapacağımızı öğrenelim.
Öncelikle verilen ifadeyi yazalım:
$\frac{4x^2-1}{2x^2+3x+1}$
Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
Payda $4x^2 - 1$ ifadesi var. Bu, iki kare farkı özdeşliğine benziyor. İki kare farkı özdeşliği: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Bu durumda, $4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$ olur.
Paydada $2x^2 + 3x + 1$ ifadesi var. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, çarpımları $2 \cdot 1 = 2$ ve toplamları $3$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $1$ ve $2$'dir.
Şimdi ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: $2x^2 + 2x + x + 1$.
Gruplandırma yaparak çarpanlarına ayıralım: $2x(x + 1) + 1(x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$.
Şimdi ifadeyi çarpanlarına ayrılmış haliyle yazalım:
$\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(2x + 1)(x + 1)}$
Ortak çarpanları sadeleştirelim. Hem payda hem de paydada $(2x + 1)$ çarpanı var. Bu çarpanları sadeleştirebiliriz:
$\frac{(2x - 1)\cancel{(2x + 1)}}{\cancel{(2x + 1)}(x + 1)} = \frac{2x - 1}{x + 1}$
Bu durumda, ifadenin sadeleştirilmiş biçimi $\frac{2x-1}{x+1}$ olur.
Cevap A seçeneğidir.
