Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, alanı belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları tam sayı olduğunda çevresinin hangi değerleri alabileceğini ve hangi değeri alamayacağını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.
Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Alanımız $48 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, kenar uzunlukları (genişlik ve uzunluk) çarpımı 48 olan tam sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, dikdörtgenimizin olası kenar uzunluklarını temsil eder:
- Genişlik $1 \text{ cm}$, Uzunluk $48 \text{ cm}$ ($1 \times 48 = 48$)
- Genişlik $2 \text{ cm}$, Uzunluk $24 \text{ cm}$ ($2 \times 24 = 48$)
- Genişlik $3 \text{ cm}$, Uzunluk $16 \text{ cm}$ ($3 \times 16 = 48$)
- Genişlik $4 \text{ cm}$, Uzunluk $12 \text{ cm}$ ($4 \times 12 = 48$)
- Genişlik $6 \text{ cm}$, Uzunluk $8 \text{ cm}$ ($6 \times 8 = 48$)
- Adım 2: Her bir kenar uzunluğu çifti için çevreyi hesaplayalım.
Bir dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Formülü $P = 2 \times (\text{genişlik} + \text{uzunluk})$ şeklindedir. Şimdi bulduğumuz her çift için çevreyi hesaplayalım:
- Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $48 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (1 + 48) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm}$
- Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (2 + 24) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm}$
- Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $16 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (3 + 16) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm}$
- Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = 32 \text{ cm}$
- Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (6 + 8) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm}$
- Adım 3: Hesapladığımız çevreleri seçeneklerle karşılaştıralım.
Hesapladığımız olası çevre değerleri şunlardır: $98 \text{ cm}$, $52 \text{ cm}$, $38 \text{ cm}$, $32 \text{ cm}$, $28 \text{ cm}$.
Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $28 \text{ cm}$: Evet, kenarları $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin çevresi $28 \text{ cm}$ olabilir.
- B) $32 \text{ cm}$: Evet, kenarları $4 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin çevresi $32 \text{ cm}$ olabilir.
- C) $38 \text{ cm}$: Evet, kenarları $3 \text{ cm}$ ve $16 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin çevresi $38 \text{ cm}$ olabilir.
- D) $44 \text{ cm}$: Hesapladığımız olası çevre değerleri arasında $44 \text{ cm}$ bulunmamaktadır. Bu, $48 \text{ cm}^2$ alana sahip ve kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin çevresinin $44 \text{ cm}$ olamayacağı anlamına gelir.
Bu durumda, verilen seçeneklerden $44 \text{ cm}$ çevresi, alanı $48 \text{ cm}^2$ ve kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgen için mümkün değildir.
Cevap D seçeneğidir.
