Aşağıdaki sembolik mantık ifadelerinden hangisi totolojidir?
A) \( p \land \lnot p \)Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir ifadenin totoloji olması demek, o ifadenin bileşenlerinin doğruluk değerleri ne olursa olsun, sonucunun her zaman doğru (D) olması demektir. Başka bir deyişle, bir ifadenin doğruluk tablosundaki son sütununun tamamı 'D' olmalıdır. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
Bu ifade "$p$ ve $p$ değil" anlamına gelir. Mantıkta, bir önermenin hem kendisi hem de değili aynı anda doğru olamaz. Eğer $p$ doğruysa, $\lnot p$ yanlış olur ve $D \land Y$ sonucu $Y$ (yanlış) olur. Eğer $p$ yanlışsa, $\lnot p$ doğru olur ve $Y \land D$ sonucu $Y$ olur. Her iki durumda da sonuç yanlıştır. Bu tür ifadelere çelişki (contradiction) denir. Dolayısıyla, bu bir totoloji değildir.
Bu ifade, koşullu bir önermenin (implikasyon) karşıt tersi (kontrapozitif) ile mantıksal denkliğini ifade eder. Mantık kurallarına göre, bir koşullu önerme ile onun karşıt tersi her zaman denktir. Bu denkliği bir doğruluk tablosu ile de gösterebiliriz:
Önce $p \rightarrow q$ ifadesinin doğruluk değerlerini bulalım:
Eğer $p$ doğru, $q$ doğru ise $D \rightarrow D \equiv D$.
Eğer $p$ doğru, $q$ yanlış ise $D \rightarrow Y \equiv Y$.
Eğer $p$ yanlış, $q$ doğru ise $Y \rightarrow D \equiv D$.
Eğer $p$ yanlış, $q$ yanlış ise $Y \rightarrow Y \equiv D$.
Şimdi $\lnot q \rightarrow \lnot p$ ifadesinin doğruluk değerlerini bulalım:
Eğer $p$ doğru, $q$ doğru ise $\lnot q$ yanlış, $\lnot p$ yanlış olur. Bu durumda $Y \rightarrow Y \equiv D$.
Eğer $p$ doğru, $q$ yanlış ise $\lnot q$ doğru, $\lnot p$ yanlış olur. Bu durumda $D \rightarrow Y \equiv Y$.
Eğer $p$ yanlış, $q$ doğru ise $\lnot q$ yanlış, $\lnot p$ doğru olur. Bu durumda $Y \rightarrow D \equiv D$.
Eğer $p$ yanlış, $q$ yanlış ise $\lnot q$ doğru, $\lnot p$ doğru olur. Bu durumda $D \rightarrow D \equiv D$.
Gördüğümüz gibi, $(p \rightarrow q)$ ve $(\lnot q \rightarrow \lnot p)$ ifadelerinin doğruluk değerleri her zaman aynıdır. Bu nedenle, bu iki ifade arasındaki çift yönlü koşul (biconditional) olan $ (p \rightarrow q) \leftrightarrow (\lnot q \rightarrow \lnot p) $ ifadesi her zaman doğrudur ($D \leftrightarrow D \equiv D$, $Y \leftrightarrow Y \equiv D$). Bu bir totolojidir.
Öncelikle parantez içindeki $q \land \lnot q$ ifadesine bakalım. Bu ifade "$q$ ve $q$ değil" anlamına gelir ve yukarıdaki A seçeneğinde açıkladığımız gibi her zaman yanlıştır (çelişki). Dolayısıyla ifade $p \rightarrow Y$ şeklini alır.
Eğer $p$ doğruysa, $D \rightarrow Y$ sonucu $Y$ olur.
Eğer $p$ yanlışsa, $Y \rightarrow Y$ sonucu $D$ olur.
Sonuç her zaman doğru olmadığı için bu bir totoloji değildir. Bu tür ifadelere olumsallık (contingency) denir.
Bu ifadeyi farklı durumlar için inceleyelim:
Eğer $p$ doğruysa ($p=D$): $(D \lor q) \land \lnot D \equiv D \land Y \equiv Y$.
Eğer $p$ yanlışsa ($p=Y$): $(Y \lor q) \land \lnot Y \equiv q \land D \equiv q$.
Gördüğümüz gibi, $p$ yanlış olduğunda ifadenin doğruluk değeri $q$'nun doğruluk değerine bağlıdır (yani $q$ doğruysa doğru, $q$ yanlışsa yanlış olur). Sonuç her zaman doğru olmadığı için bu bir totoloji değildir. Bu da bir olumsallıktır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğindeki ifadenin her zaman doğru olduğu görülmüştür.
Cevap B seçeneğidir.
