Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma Test 1

z = (2a-3) + (b+1)i karmaşık sayısı veriliyor. Re(z) + Im(z) = 8 ve Re(z) - Im(z) = 2 olduğuna göre a+b kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Bu soruyu adım adım, açıklayıcı ve anlaşılır bir şekilde çözelim.

• 1. Karmaşık Sayının Gerçel ve Sanal Kısımlarını Belirleme:

  Verilen karmaşık sayı $z = (2a-3) + (b+1)i$ şeklindedir. Bir karmaşık sayı $z = x + yi$ formatında olduğunda, gerçel kısmı $Re(z) = x$ ve sanal kısmı $Im(z) = y$ olur.

  Buna göre, $z$ karmaşık sayısı için:

  $Re(z) = 2a-3$

  $Im(z) = b+1$

  (Unutmayın: Sanal kısım $i$'nin katsayısıdır, $i$ harfi sanal kısmın ifadesine dahil edilmez.)

• 2. Verilen Denklemlerden $Re(z)$ ve $Im(z)$ Değerlerini Bulma:

  Soruda bize iki denklem verilmiş:

  1) $Re(z) + Im(z) = 8$

  2) $Re(z) - Im(z) = 2$

  Bu iki denklemi bir sistem olarak düşünerek $Re(z)$ ve $Im(z)$ değerlerini bulabiliriz. Denklemleri taraf tarafa toplayalım:

  $(Re(z) + Im(z)) + (Re(z) - Im(z)) = 8 + 2$

  $2 \cdot Re(z) = 10$

  $Re(z) = 5$

  Şimdi bulduğumuz $Re(z) = 5$ değerini ilk denkleme yerine koyalım:

  $5 + Im(z) = 8$

  $Im(z) = 8 - 5$

  $Im(z) = 3$

  Böylece karmaşık sayımızın gerçel kısmının $5$, sanal kısmının ise $3$ olduğunu bulduk.

• 3. $a$ ve $b$ Değerlerini Hesaplama:

  Adım 1'de belirlediğimiz ifadeleri, Adım 2'de bulduğumuz değerlerle eşitleyelim:

  Gerçel kısım için:

  $2a-3 = 5$

  $2a = 5 + 3$

  $2a = 8$

  $a = 4$

  Sanal kısım için:

  $b+1 = 3$

  $b = 3 - 1$

  $b = 2$

• 4. $a+b$ Toplamını Bulma:

  Son olarak, bizden istenen $a+b$ toplamını hesaplayalım:

  $a+b = 4 + 2 = 6$

Cevap B seçeneğidir.