Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir karmaşık sayının eşitliğini kullanarak bilinmeyen $x$ ve $y$ değerlerini bulup, ardından $x+y$ toplamını hesaplayacağız. Karmaşık sayılarla toplama ve eşitlik kavramlarını hatırlayarak adım adım ilerleyelim.
- 1. Adım: Verilen Karmaşık Sayıyı ve Eşitliği Yazalım
- Bize verilen karmaşık sayı $z = (x+2) + (y-3)i$ şeklindedir.
- Verilen eşitlik ise $z + (2-4i) = 5+2i$'dir.
- Şimdi $z$ ifadesini eşitlikteki yerine yazalım:
- $[(x+2) + (y-3)i] + (2-4i) = 5+2i$
- 2. Adım: Eşitliğin Sol Tarafındaki Karmaşık Sayıları Toplayalım
- Karmaşık sayıları toplarken, gerçek kısımları kendi aralarında, sanal kısımları da kendi aralarında toplarız.
- Sol tarafın gerçek kısmı: $(x+2) + 2$
- Sol tarafın sanal kısmı: $(y-3) + (-4)$
- Bu toplamları düzenlersek:
- Gerçek kısım: $x+2+2 = x+4$
- Sanal kısım: $y-3-4 = y-7$
- Böylece eşitliğin sol tarafı $(x+4) + (y-7)i$ olur.
- Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi: $(x+4) + (y-7)i = 5+2i$
- 3. Adım: Karmaşık Sayıların Eşitliğini Kullanalım
- İki karmaşık sayı birbirine eşitse, bu sayıların gerçek kısımları birbirine eşit olmalı ve sanal kısımları da birbirine eşit olmalıdır.
- Yani, eğer $a+bi = c+di$ ise, $a=c$ ve $b=d$ olmalıdır.
- Bizim eşitliğimizde: $(x+4) + (y-7)i = 5+2i$
- Gerçek kısımları eşitleyelim: $x+4 = 5$
- Sanal kısımları eşitleyelim: $y-7 = 2$
- 4. Adım: $x$ ve $y$ Değerlerini Bulalım
- Gerçek kısım eşitliğinden $x$'i bulalım:
- $x+4 = 5 \implies x = 5-4 \implies x = 1$
- Sanal kısım eşitliğinden $y$'yi bulalım:
- $y-7 = 2 \implies y = 2+7 \implies y = 9$
- 5. Adım: $x+y$ Toplamını Hesaplayalım
- $x$ ve $y$ değerlerini bulduğumuza göre, şimdi $x+y$ toplamını kolayca hesaplayabiliriz:
- $x+y = 1+9 = 10$
Gördüğünüz gibi, karmaşık sayılarla işlem yaparken gerçek ve sanal kısımları ayrı ayrı ele almak, çözüme ulaşmamızı kolaylaştırıyor.
Cevap C seçeneğidir.
