İntegral sabiti (c) nedir Test 1

Belirsiz integral \( \int (4x^3 - 6x) dx \) alındığında elde edilecek ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( x^4 - 3x^2 \)
B) \( x^4 - 3x^2 + c \)
C) \( 12x^2 - 6 + c \)
D) \( 4x^4 - 6x^2 + c \)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden bir belirsiz integralin sonucunu bulmamız isteniyor. Belirsiz integral alma işlemi, türevi verilen bir fonksiyonu bulma işlemidir. Bu işlemi yaparken bazı temel integral kurallarını hatırlamamız gerekiyor.

• Adım 1: İntegrali Parçalama

İntegralini almamız gereken ifade $ \int (4x^3 - 6x) dx $ şeklindedir. İntegralin toplama ve çıkarma üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak bu ifadeyi iki ayrı integralin farkı şeklinde yazabiliriz:

$ \int (4x^3 - 6x) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x dx $

• Adım 2: Sabit Çarpanları İntegral Dışına Alma

İntegral alma işleminde, sabit çarpanları integralin dışına alabiliriz. Bu kuralı uygulayarak ifademizi daha da basitleştirelim:

$ \int 4x^3 dx - \int 6x dx = 4 \int x^3 dx - 6 \int x dx $

• Adım 3: Üslü İfadelerin İntegralini Alma (Kuvvet Kuralı)

Şimdi her bir terimin integralini ayrı ayrı alalım. Bunun için temel integral alma kuralı olan "kuvvet kuralı"nı kullanacağız. Kuvvet kuralı der ki: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c $ (burada $ n \neq -1 $).

İlk terim için ($ \int x^3 dx $): Burada $ n=3 $'tür. Kuralı uyguladığımızda:

$ \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} $

İkinci terim için ($ \int x dx $): Burada $ x $ aslında $ x^1 $ demektir, yani $ n=1 $'dir. Kuralı uyguladığımızda:

$ \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} $

DİKKAT: Her bir integralden bir $c$ sabiti gelse de, tüm belirsiz integralin sonunda tek bir genel $c$ sabiti eklemek yeterlidir.

• Adım 4: Sonuçları Birleştirme ve Sadeleştirme

Bulduğumuz integral sonuçlarını yerine yazalım ve sabit çarpanlarla çarpalım:

$ 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) - 6 \left( \frac{x^2}{2} \right) $

Şimdi sadeleştirme işlemlerini yapalım:

$ 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 $

$ 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2 $

Bu durumda ifademiz:

$ x^4 - 3x^2 $

• Adım 5: İntegral Sabitini Ekleme

Belirsiz integral aldığımız için, sonucumuza mutlaka bir integral sabiti ($c$) eklememiz gerekir. Çünkü türevi $ 4x^3 - 6x $ olan sonsuz sayıda fonksiyon vardır (örneğin $ x^4 - 3x^2 + 5 $, $ x^4 - 3x^2 - 10 $ vb.). Bu sabit, türev alındığında sıfır olan herhangi bir sayıyı temsil eder.

Nihai sonucumuz:

$ x^4 - 3x^2 + c $

Şimdi seçeneklerimize bakalım:

• A) $ x^4 - 3x^2 $ (Sabit $c$ eksik)
• B) $ x^4 - 3x^2 + c $ (Doğru ifade)
• C) $ 12x^2 - 6 + c $ (Bu ifade türev alınmış halidir, integral değil)
• D) $ 4x^4 - 6x^2 + c $ (Kuvvet kuralı yanlış uygulanmış, üsler doğru artırılmamış)

Gördüğümüz gibi, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.