Gruplandırarak çarpanlara ayırma Test 1

\(4x^2 - 9y^2 + 6x - 9y\) ifadesi gruplandırılarak çarpanlarına ayrılıyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu ifadenin çarpanlarından biri değildir?

A) \(2x - 3y\)
B) \(2x + 3y\)
C) \(2x + 3y + 3\)
D) \(2x - 3y + 3\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, cebirsel ifadeleri gruplandırarak çarpanlarına ayırma konusunu pekiştirecek güzel bir soru çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek, bu tür soruları nasıl çözeceğimizi ve doğru cevaba nasıl ulaşacağımızı göreceğiz.

• 1. Adım: İfadeyi Gruplandırma

  Verilen ifade $4x^2 - 9y^2 + 6x - 9y$ şeklindedir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için uygun terimleri gruplandırmamız gerekiyor. İlk bakışta, ilk iki terim ($4x^2 - 9y^2$) ve son iki terim ($6x - 9y$) arasında bir ilişki olduğunu fark edebiliriz.

• 2. Adım: İki Kare Farkı Özelliğini Kullanma

  İlk iki terim olan $4x^2 - 9y^2$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğine ($a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$) uymaktadır. Burada $a = 2x$ ve $b = 3y$ olarak düşünebiliriz.

  Buna göre:

  $4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$

• 3. Adım: Ortak Çarpan Parantezine Alma

  Şimdi de son iki terim olan $6x - 9y$ ifadesine bakalım. Bu terimlerde ortak bir çarpan bulunmaktadır. Her iki terim de $3$'ün katıdır.

  Buna göre:

  $6x - 9y = 3(2x - 3y)$

• 4. Adım: İfadeyi Yeniden Yazma ve Ortak Çarpanı Belirleme

  Şimdi, bulduğumuz bu çarpanlara ayrılmış kısımları orijinal ifadede yerine yazalım:

  $(2x - 3y)(2x + 3y) + 3(2x - 3y)$

  Bu yeni ifadede dikkat ederseniz, $(2x - 3y)$ terimi her iki kısımda da ortak bir çarpan olarak karşımıza çıkıyor. Bu, çarpanlara ayırma işlemine devam edebileceğimiz anlamına gelir.

• 5. Adım: Ortak Çarpan Parantezine Alma (Son Kez)

  Ortak çarpan olan $(2x - 3y)$'yi parantez dışına alarak ifadeyi tamamen çarpanlarına ayıralım:

  $(2x - 3y) [ (2x + 3y) + 3 ]$

  Parantez içindeki ifadeyi düzenlediğimizde, ifadenin çarpanlarına ayrılmış son halini buluruz:

  $(2x - 3y)(2x + 3y + 3)$

• 6. Adım: Çarpanları Belirleme ve Seçenekleri Kontrol Etme

  Buna göre, $4x^2 - 9y^2 + 6x - 9y$ ifadesinin çarpanları $ (2x - 3y) $ ve $ (2x + 3y + 3) $ şeklindedir.

  Şimdi seçenekleri tek tek kontrol edelim:

  • A) $2x - 3y$: Bu ifade, bulduğumuz çarpanlardan biridir.
  • B) $2x + 3y$: Bu ifade, ifadenin çarpanlarından biri değildir.
  • C) $2x + 3y + 3$: Bu ifade, bulduğumuz çarpanlardan biridir.
  • D) $2x - 3y + 3$: Bu ifade, ifadenin çarpanlarından biri değildir.

Soruda, verilen ifadenin çarpanlarından biri olmayan seçeneği bulmamız istenmektedir. Yaptığımız çarpanlara ayırma işlemi sonucunda ifadenin çarpanları $ (2x - 3y) $ ve $ (2x + 3y + 3) $ olarak bulunmuştur. Seçenekleri incelediğimizde, $ (2x - 3y + 3) $ ifadesinin bu çarpanlardan biri olmadığını görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.