\(8a^2 - 18b^2 + 12a - 18b\) ifadesi çarpanlarına ayrıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) \(2(2a-3b)(2a+3b+3)\)Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmamız isteniyor. Cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırırken genellikle ortak çarpan parantezine alma, özdeşliklerden faydalanma (iki kare farkı, tam kare vb.) veya gruplandırma gibi yöntemleri kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: İfadeyi inceleyelim ve ortak çarpan arayalım.
Verilen ifade: $8a^2 - 18b^2 + 12a - 18b$.
Tüm terimlerin katsayılarına bakarsak ($8, -18, 12, -18$), hepsinin 2 ile bölünebildiğini görürüz. Bu durumda, ifadeyi 2 ortak çarpan parantezine alabiliriz:
$2(4a^2 - 9b^2 + 6a - 9b)$
Adım 2: Parantez içindeki ifadeyi gruplandıralım ve özdeşlikleri kullanalım.
Parantez içindeki ifadeye odaklanalım: $4a^2 - 9b^2 + 6a - 9b$.
Burada ilk iki terim olan $4a^2 - 9b^2$ bize "iki kare farkı" özdeşliğini hatırlatıyor. İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Burada $x = 2a$ ve $y = 3b$ olarak düşünebiliriz. Yani, $4a^2 - 9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a - 3b)(2a + 3b)$.
Şimdi parantez içindeki ifadenin kalan kısmına bakalım: $6a - 9b$. Bu iki terimin de ortak çarpanı 3'tür. Yani, $6a - 9b = 3(2a - 3b)$.
Adım 3: Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım.
Şimdi bu bulgularımızı ilk başta 2 parantezine aldığımız ifadeye geri yerleştirelim:
$2 [ (2a - 3b)(2a + 3b) + 3(2a - 3b) ]$
Adım 4: Ortak çarpan parantezine tekrar alalım.
Köşeli parantez içindeki ifadeye dikkatlice bakarsak, her iki terimde de $(2a - 3b)$ çarpanının ortak olduğunu görürüz. Bu ortak çarpanı dışarı alabiliriz:
$2 (2a - 3b) [ (2a + 3b) + 3 ]$
Adım 5: İfadeyi sadeleştirelim.
Köşeli parantez içindeki ifadeyi sadeleştirelim:
$2 (2a - 3b) (2a + 3b + 3)$
Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
