İntegral alma kuralları Test 1

3. \( \int e^{2x} \, dx \) integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 2e^{2x} + C \)
B) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \)
C) \( e^{2x} + C \)
D) \( 2e^{x} + C \)

Merhaba öğrenciler, bu integral sorusunu adım adım çözelim:

• Adım 1: İntegrali Tanıyalım

İntegralimiz: $\int e^{2x} \, dx$. Bu integral, üstel bir fonksiyonun integralidir. Üstel fonksiyonların integrali genellikle kolaydır, ancak burada $2x$ gibi bir ifade olduğu için dikkatli olmalıyız.

• Adım 2: Temel İntegral Kuralını Hatırlayalım

Temel kuralımız: $\int e^x \, dx = e^x + C$. Ancak, bizim integralimizde $e^{2x}$ var. Bu durumda, değişken değiştirme yöntemini kullanmamız gerekecek.

• Adım 3: Değişken Değiştirme Yöntemi

$u = 2x$ olsun. O zaman, $du = 2 \, dx$ olur. Buradan $dx = \frac{1}{2} \, du$ elde ederiz.

• Adım 4: İntegrali Yeni Değişkene Göre Yazalım

Şimdi integralimizi $u$ değişkenine göre yazabiliriz: $\int e^{2x} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int e^u \, du$

• Adım 5: İntegrali Alalım

$\frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C$

• Adım 6: Başlangıç Değişkenine Geri Dönelim

$u = 2x$ olduğuna göre, sonucu $x$ değişkenine geri çevirelim: $\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

Sonuç olarak, $\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$ olur.

Cevap B seçeneğidir.