\( y = -\frac{3}{4}x + 2 \) doğrusuna dik olan ve \( (2, 1) \) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) \( \frac{3}{4} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğruya dik olan başka bir doğrunun eğimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Adım 1: Verilen doğrunun eğimini bulma
Bir doğrunun denklemi $ y = mx + b $ şeklinde verildiğinde, $ m $ değeri doğrunun eğimini gösterir. Bu formüle "eğim-kesim noktası formu" denir.
Soruda verilen doğru denklemi $ y = -\frac{3}{4}x + 2 $ şeklindedir.
Bu denklemden, verilen doğrunun eğiminin $ m_1 = -\frac{3}{4} $ olduğunu kolayca görebiliriz.
Adım 2: Dik doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi hatırlama
İki doğru birbirine dik (yani aralarındaki açı $ 90^\circ $ ise), bu doğruların eğimleri arasında özel bir ilişki vardır. Bu ilişkiye göre, dik doğruların eğimlerinin çarpımı $ -1 $'dir.
Yani, eğer birinci doğrunun eğimi $ m_1 $ ve ona dik olan ikinci doğrunun eğimi $ m_2 $ ise, $ m_1 \cdot m_2 = -1 $ eşitliği geçerlidir.
Bu aynı zamanda, bir doğrunun eğimi diğer doğrunun eğiminin "negatif çarpmaya göre tersi" olduğu anlamına gelir. Yani, $ m_2 = -\frac{1}{m_1} $.
Adım 3: Aranan doğrunun eğimini hesaplama
Şimdi bu bilgiyi kullanarak sorumuzdaki dik doğrunun eğimini bulalım.
Verilen doğrunun eğimi $ m_1 = -\frac{3}{4} $ idi.
Aradığımız dik doğrunun eğimine $ m_2 $ diyelim.
İlişkiyi uygulayalım: $ m_1 \cdot m_2 = -1 $
$ (-\frac{3}{4}) \cdot m_2 = -1 $
Şimdi $ m_2 $'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $ -\frac{3}{4} $'e bölelim veya $ -\frac{4}{3} $ ile çarpalım:
$ m_2 = \frac{-1}{-\frac{3}{4}} $
$ m_2 = -1 \cdot (-\frac{4}{3}) $
$ m_2 = \frac{4}{3} $
Soruda verilen $ (2, 1) $ noktası, doğrunun denklemini bulmak için kullanılırdı, ancak bizden sadece eğim istendiği için bu noktayı kullanmamıza gerek kalmadı.
Buna göre, $ y = -\frac{3}{4}x + 2 $ doğrusuna dik olan doğrunun eğimi $ \frac{4}{3} $'tür.
Cevap C seçeneğidir.
