Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki diferansiyelini kullanarak, o noktanın yakınındaki bir değer için fonksiyonun yaklaşık değerini bulmamız isteniyor. Diferansiyel, bir fonksiyonun küçük bir değişimdeki yaklaşık değişimini ifade eder ve bu sayede karmaşık hesaplamalar yerine daha basit bir doğrusal yaklaşıklık elde etmemizi sağlar.
- Adım 1: Fonksiyonu ve Türevini Belirleyelim
- Verilen fonksiyon $y = f(x) = e^x$'tir.
- Bu fonksiyonun türevi $f'(x)$ ise $f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$'tir.
- Adım 2: Başlangıç Noktasındaki Fonksiyon ve Türev Değerlerini Bulalım
- Bize verilen başlangıç noktası $x = 0$'dır.
- Bu noktadaki fonksiyon değeri: $f(0) = e^0 = 1$.
- Bu noktadaki türev değeri: $f'(0) = e^0 = 1$.
- Adım 3: $x$'teki Değişimi ($dx$ veya $\Delta x$) Belirleyelim
- Biz $x = 0$ noktasından $x = 0.1$ noktasına gitmek istiyoruz.
- Bu durumda $x$'teki değişim $dx = \Delta x = 0.1 - 0 = 0.1$'dir.
- Adım 4: Diferansiyel ($dy$) Değerini Hesaplayalım
- Diferansiyel formülü $dy = f'(x) dx$'tir.
- Başlangıç noktamız $x=0$ olduğu için $dy = f'(0) \cdot dx$ olacaktır.
- $dy = 1 \cdot (0.1) = 0.1$.
- Adım 5: Yaklaşık Değeri Hesaplayalım
- Bir fonksiyonun $x + \Delta x$ noktasındaki yaklaşık değeri, $f(x + \Delta x) \approx f(x) + dy$ formülü ile bulunur.
- Burada $f(0.1) \approx f(0) + dy$ olacaktır.
- $f(0.1) \approx 1 + 0.1$.
- $f(0.1) \approx 1.1$.
Buna göre, $x = 0.1$ için $y$'nin yaklaşık değeri $1.1$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
