Diferansiyel kavramı nedir (dx) Test 1

8. y = ln(x) fonksiyonu için dy ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1/x) dx
B) 1/x
C) eˣ dx
D) x dx

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun diferansiyelini bulmamız isteniyor. Diferansiyel, bir fonksiyonun küçük bir değişimi için yaklaşık değeri ifade eder ve türev ile yakından ilişkilidir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonu Belirleyelim

  Bize verilen fonksiyon $y = \ln(x)$'tir. Burada $\ln(x)$, $x$'in doğal logaritması anlamına gelir.

• Adım 2: Fonksiyonun Türevini Bulalım

  Diferansiyel $dy$ ifadesini bulmak için öncelikle fonksiyonun $x$'e göre türevini almamız gerekir. Doğal logaritma fonksiyonunun türev kuralını hatırlayalım:

  Eğer $y = \ln(x)$ ise, o zaman $x$'e göre türevi $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ olur.

• Adım 3: Diferansiyel $dy$ İfadesini Yazalım

  Diferansiyel $dy$, bir fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin diferansiyelinin ($dx$) çarpımı olarak tanımlanır. Yani genel olarak $dy = f'(x) dx$ veya $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ olduğundan, $dy = \frac{dy}{dx} dx$ şeklinde yazabiliriz.

  Bulduğumuz türev değerini yerine koyarsak:

  $dy = \left(\frac{1}{x}\right) dx$

• Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz $dy = \frac{1}{x} dx$ ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bu ifadeyle aynı olduğunu görürüz.

  • A) $\left(\frac{1}{x}\right) dx$
  • B) $\frac{1}{x}$ (Bu sadece türevdir, diferansiyel değil.)
  • C) $e^x dx$ (Bu $y = e^x$ fonksiyonunun diferansiyelidir.)
  • D) $x dx$ (Bu $y = \frac{x^2}{2}$ fonksiyonunun diferansiyelidir.)

Bu adımları takip ederek doğru cevabın A seçeneği olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.