Bir su şirketinin fiyat tarifesi:
- İlk 10 m³: 5 TL/m³
- 10-20 m³ arası: 7 TL/m³
- 20 m³'ten fazla: 10 TL/m³
Buna göre x m³ su tüketimi için ödenecek fatura tutarını veren parçalı fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( f(x) =
\begin{cases}
5x, & 0 < x \leq 10 \\
50 + 7(x-10), & 10 < x \leq 20 \\
120 + 10(x-20), & x > 20
\end{cases}
\)
B) \( f(x) =
\begin{cases}
5x, & 0 < x \leq 10 \\
7x, & 10 < x \leq 20 \\
10x, & x > 20
\end{cases}
\)
C) \( f(x) =
\begin{cases}
5x, & 0 < x \leq 10 \\
50 + 7x, & 10 < x \leq 20 \\
70 + 10x, & x > 20
\end{cases}
\)
D) \( f(x) =
\begin{cases}
x, & 0 < x \leq 10 \\
2x, & 10 < x \leq 20 \\
3x, & x > 20
\end{cases}
\)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir su şirketinin farklı tüketim miktarları için uyguladığı kademeli fiyatlandırma sistemini bir parçalı fonksiyon (dilimli fonksiyon) şeklinde ifade etmemiz isteniyor. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi inceleyelim.
- Adım 1: Fiyatlandırma Tarifesini Anlamak
- Öncelikle, su şirketinin tarifesini dikkatlice okuyalım ve her bir kademenin ne anlama geldiğini netleştirelim:
- İlk 10 m³: Bu, $0 \text{ m}^3$'ten $10 \text{ m}^3$'e kadar olan su tüketimi için geçerli fiyattır. Her metreküp için $5 \text{ TL}$ ödenir.
- 10-20 m³ arası: Bu ifade, $10 \text{ m}^3$'ten sonraki ve $20 \text{ m}^3$'e kadar olan su tüketimi için geçerli fiyattır. Yani, $10 \text{ m}^3$'ü aşan ve $20 \text{ m}^3$'e kadar olan kısım için her metreküp $7 \text{ TL}$'dir. İlk $10 \text{ m}^3$'ün ücreti bu kademede değişmez, üzerine eklenir.
- 20 m³'ten fazla: Bu, $20 \text{ m}^3$'ü aşan her metreküp için geçerli fiyattır. $20 \text{ m}^3$'e kadar olan tüm tüketimin ücreti sabit kalır ve $20 \text{ m}^3$'ü aşan kısım için her metreküp $10 \text{ TL}$ ödenir.
- Adım 2: Parçalı Fonksiyonun Kademelerini Belirlemek
- Tarifeye göre üç farklı fiyatlandırma aralığı olduğu için, fonksiyonumuz üç parçadan oluşacaktır:
- $0 < x \leq 10$ (İlk 10 m³ için)
- $10 < x \leq 20$ (10 m³'ten fazla, 20 m³'e kadar olan kısım için)
- $x > 20$ (20 m³'ten fazla olan kısım için)
- Adım 3: Her Bir Kademe İçin Fatura Tutarını Hesaplamak
- Şimdi her bir kademe için ödenecek fatura tutarını ($f(x)$) ayrı ayrı hesaplayalım:
- Durum 1: $0 < x \leq 10$ m³
- Eğer tüketim $10 \text{ m}^3$ veya daha az ise, her metreküp için $5 \text{ TL}$ ödenir.
- Fatura tutarı: $f(x) = 5 \times x = 5x$
- Bu, seçeneklerdeki ilk parça ile uyumludur.
- Durum 2: $10 < x \leq 20$ m³
- Eğer tüketim $10 \text{ m}^3$'ten fazla ama $20 \text{ m}^3$ veya daha az ise:
- İlk $10 \text{ m}^3$'ün ücreti sabittir: $10 \text{ m}^3 \times 5 \text{ TL/m}^3 = 50 \text{ TL}$.
- $10 \text{ m}^3$'ü aşan kısım için (yani $x-10$ m³) her metreküp $7 \text{ TL}$'den ücretlendirilir: $7 \times (x-10) \text{ TL}$.
- Toplam fatura tutarı: $f(x) = 50 + 7(x-10)$.
- Bu, A seçeneğindeki ikinci parça ile uyumludur. Diğer seçeneklerde bu kademenin yanlış hesaplandığını görebilirsiniz (örneğin B seçeneğinde $7x$ denmiş, bu yanlış çünkü ilk 10 m³'ün ücreti $5 \text{ TL}$'den alınmıştır).
- Durum 3: $x > 20$ m³
- Eğer tüketim $20 \text{ m}^3$'ten fazla ise:
- İlk $10 \text{ m}^3$'ün ücreti: $10 \text{ m}^3 \times 5 \text{ TL/m}^3 = 50 \text{ TL}$.
- Sonraki $10 \text{ m}^3$'ün (yani $10 \text{ m}^3$'ten $20 \text{ m}^3$'e kadar olan kısmın) ücreti: $10 \text{ m}^3 \times 7 \text{ TL/m}^3 = 70 \text{ TL}$.
- İlk $20 \text{ m}^3$'ün toplam ücreti: $50 \text{ TL} + 70 \text{ TL} = 120 \text{ TL}$.
- $20 \text{ m}^3$'ü aşan kısım için (yani $x-20$ m³) her metreküp $10 \text{ TL}$'den ücretlendirilir: $10 \times (x-20) \text{ TL}$.
- Toplam fatura tutarı: $f(x) = 120 + 10(x-20)$.
- Bu da A seçeneğindeki üçüncü parça ile uyumludur.
- Adım 4: Parçalı Fonksiyonu Oluşturmak ve Seçeneklerle Karşılaştırmak
- Yukarıdaki hesaplamaları bir araya getirerek parçalı fonksiyonu yazalım:
- $ f(x) =
\begin{cases}
5x, & 0 < x \leq 10 \\
50 + 7(x-10), & 10 < x \leq 20 \\
120 + 10(x-20), & x > 20
\end{cases}
$
- Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim bulduğumuz fonksiyonla tamamen aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
