Bir yarışmada iki hakem bulunmaktadır. Yarışmacının elenmesi için hakemlerden sadece birinin kırmızı butona basması gerekmektedir. Bu durum hangi mantıksal ifadeyle gösterilir?
A) \( p \land q \)
B) \( p \lor q \)
C) \( p \veebar q \)
D) \( \lnot p \land \lnot q \)
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen durumu mantıksal ifadelere dönüştürmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Önermeleri Tanımlayalım
- Soruda iki hakemden bahsediliyor. Her bir hakemin kırmızı butona basma durumunu birer önerme ile gösterelim:
- $p$: "Birinci hakem kırmızı butona bastı."
- $q$: "İkinci hakem kırmızı butona bastı."
- 2. Adım: Yarışmacının Elenme Koşulunu Belirleyelim
- Yarışmacının elenmesi için koşul şudur: "hakemlerden sadece birinin kırmızı butona basması gerekiyor." Bu ifade, iki farklı durumu kapsar:
- Durum 1: Birinci hakem kırmızı butona bastı VE İkinci hakem kırmızı butona basmadı.
- Bu durumu mantıksal olarak $p \land \lnot q$ şeklinde ifade ederiz. ($\lnot q$, $q$'nun değili yani "İkinci hakem kırmızı butona basmadı" anlamına gelir.)
- Durum 2: Birinci hakem kırmızı butona basmadı VE İkinci hakem kırmızı butona bastı.
- Bu durumu mantıksal olarak $\lnot p \land q$ şeklinde ifade ederiz.
- 3. Adım: Koşulları Birleştirelim
- Yarışmacının elenmesi için Durum 1'in VEYA Durum 2'nin gerçekleşmesi gerekir. Yani, her iki durumdan herhangi biri gerçekleştiğinde yarışmacı elenir.
- Bu iki durumu "veya" bağlacı ile birleştirirsek: $(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)$ ifadesini elde ederiz.
- 4. Adım: Mantıksal Bağlacı Tanıyalım
- $(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)$ ifadesi, mantıkta "özel veya" (exclusive OR) olarak bilinen bir bağlacın tanımıdır. Özel veya bağlacı, iki önermeden sadece birinin doğru olması durumunda doğru sonuç verir. Yani, ikisi birden doğru olduğunda veya ikisi birden yanlış olduğunda yanlış sonuç verir.
- Özel veya bağlacı $\veebar$ sembolü ile gösterilir. Dolayısıyla, $(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)$ ifadesi, $p \veebar q$ ile aynı anlama gelir.
- 5. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim
- Şimdi seçeneklerimize bakalım:
- A) $p \land q$: Her iki hakem de kırmızı butona bastı. (Bu durumda yarışmacı elenmez, çünkü sadece birinin basması gerekiyordu.)
- B) $p \lor q$: En az bir hakem kırmızı butona bastı (yani biri bastı veya ikisi birden bastı). (İkisi birden basarsa yarışmacı elenmez, bu yüzden doğru ifade değil.)
- C) $p \veebar q$: Sadece bir hakem kırmızı butona bastı. (Bu, sorudaki "hakemlerden sadece birinin kırmızı butona basması gerekiyor" koşulunu tam olarak karşılar.)
- D) $\lnot p \land \lnot q$: Hiçbir hakem kırmızı butona basmadı. (Bu durumda yarışmacı elenmez.)
Gördüğümüz gibi, yarışmacının elenme koşulunu en doğru şekilde ifade eden mantıksal ifade $p \veebar q$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
