Değişken değiştirme yöntemi (İntegral) Test 1

∫(e^(3x+1))dx integralini hesaplamak için u = 3x+1 dönüşümü yapılıyor. Buna göre integralin sonucu nedir?

A) (1/3)e^(3x+1) + C
B) 3e^(3x+1) + C
C) e^(3x+1) + C
D) (1/3)e^u + C

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, integral hesaplamada çok güçlü bir araç olan değişken değiştirme (u-substitüsyonu) yöntemini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Bu yöntem, karmaşık görünen integralleri daha basit hale getirmemizi sağlar. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Dönüşümü ve $dx$ ifadesini belirleyelim.

  Bize verilen integral $\int(e^{3x+1})dx$ ve kullanmamız istenen dönüşüm $u = 3x+1$.

  İntegrali tamamen $u$ cinsinden yazabilmek için, $dx$ ifadesini de $du$ cinsinden bulmamız gerekiyor. Bunun için $u$'nun $x$'e göre türevini alalım:

  $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x+1)$

  $\frac{du}{dx} = 3$

  Şimdi $du$ ve $dx$ arasındaki ilişkiyi bulalım. Her iki tarafı $dx$ ile çarparsak:

  $du = 3dx$

  Bizim integralimizde $dx$ olduğu için, $dx$'i yalnız bırakalım:

  $dx = \frac{1}{3}du$

• Adım 2: İntegrali $u$ cinsinden yeniden yazalım.

  Şimdi orijinal integralimizdeki $3x+1$ yerine $u$ ve $dx$ yerine $\frac{1}{3}du$ yazalım:

  Orijinal integral: $\int e^{3x+1} dx$

  Dönüşüm sonrası integral: $\int e^u \left(\frac{1}{3}du\right)$

  Sabit çarpanları integral dışına alabiliriz, bu işlemi daha kolay hale getirir:

  $\frac{1}{3} \int e^u du$

• Adım 3: İntegrali hesaplayalım.

  Şimdi elimizde çok daha basit bir integral var: $\frac{1}{3} \int e^u du$.

  Biliyoruz ki $e^u$'nun integrali yine $e^u$'dur. İntegral sabiti $C$'yi de eklemeyi unutmayalım:

  $\frac{1}{3} e^u + C$

• Adım 4: $u$ yerine orijinal ifadesini geri yazalım.

  İntegralin sonucunu $x$ cinsinden ifade etmemiz gerektiği için, $u$ yerine başlangıçtaki $3x+1$ ifadesini geri yazalım:

  $\frac{1}{3} e^{(3x+1)} + C$

• Adım 5: Sonucu seçeneklerle karşılaştıralım.

  Elde ettiğimiz sonuç $\frac{1}{3} e^{(3x+1)} + C$ şeklindedir.

  Bu sonuç, A seçeneği ile tamamen aynıdır.

İşte bu kadar! Gördüğünüz gibi, doğru dönüşüm ve adım adım uygulama ile karmaşık integralleri çözmek oldukça kolaydır.

Cevap A seçeneğidir.