Değişken değiştirme yöntemi (İntegral) Test 1

∫(1/(xlnx))dx integralini hesaplamak için u = lnx dönüşümü yapılıyor. Bu dönüşüm sonucunda integral hangi forma dönüşür?

A) ∫(1/u)du
B) ∫(x/u)du
C) ∫(1/(xu))du
D) ∫(u/x)du

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli bir integralin, verilen bir değişken dönüşümü (substitüsyon) kullanılarak hangi yeni forma dönüşeceğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim ve bu dönüşümün nasıl yapıldığını anlayalım.

• Adım 1: Verilen İntegrali ve Dönüşümü Belirleyelim.

  Bize verilen integral şudur: $\int \frac{1}{x \ln x} dx$.

  Ve kullanmamız istenen dönüşüm (substitüsyon) şudur: $u = \ln x$.

• Adım 2: Dönüşümün Türevini Alarak $du$ İfadesini Bulalım.

  Dönüşümümüz $u = \ln x$ olduğuna göre, $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$ ifadesini bulmalıyız. Her iki tarafın $x$'e göre türevini alalım:

  $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln x)$

  Biliyoruz ki $\ln x$'in türevi $\frac{1}{x}$'tir. Yani:

  $\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

  $du$ ifadesini yalnız bırakmak için $dx$'i karşıya çarpım olarak atalım:

  $du = \frac{1}{x} dx$

• Adım 3: İntegralde Yerine Koyma İşlemini Yapalım.

  Şimdi elimizde iki önemli bilgi var:

  • $u = \ln x$
  • $du = \frac{1}{x} dx$

  Orijinal integralimiz $\int \frac{1}{x \ln x} dx$ idi. Bu integrali daha rahat görebilmek için şöyle yazabiliriz:

  $\int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx$

  Şimdi bulduğumuz $u$ ve $du$ ifadelerini bu yeni formda yerine koyalım:

  • $\frac{1}{\ln x}$ ifadesindeki $\ln x$ yerine $u$ yazarsak, $\frac{1}{u}$ elde ederiz.
  • $\frac{1}{x} dx$ ifadesi yerine de doğrudan $du$ yazabiliriz.

  Bu durumda integralimiz şu şekle dönüşür:

  $\int \frac{1}{u} du$

• Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım.

  Dönüşüm sonucunda elde ettiğimiz integral $\int \frac{1}{u} du$ şeklindedir.

  Bu ifade seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.