Delta < 0 durumunda sanal kökleri bulma Test 1

4x² + 8x + 9 = 0 denkleminin kökleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Δ > 0
B) Δ = 0
C) Δ < 0
D) Kökler gerçektir

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin doğasını anlamak için diskriminant ($\Delta$) kavramını kullanırız. Şimdi bu soruyu adım adım, açıklayıcı bir şekilde çözelim:

• 1. Denklemi Tanımlama:

Verilen denklem $4x^2 + 8x + 9 = 0$ bir ikinci dereceden denklemdir.

Genel ikinci dereceden denklem formu $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindedir.

• 2. Katsayıları Belirleme:

Denklemimizdeki katsayıları genel form ile karşılaştıralım:

$a$ katsayısı $x^2$'nin önündeki sayıdır, yani $a = 4$.

$b$ katsayısı $x$'in önündeki sayıdır, yani $b = 8$.

$c$ katsayısı sabit terimdir, yani $c = 9$.

• 3. Diskriminant Formülünü Hatırlama:

Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin doğasını belirlemek için diskriminant ($\Delta$) formülünü kullanırız. Diskriminant formülü şöyledir:

$\Delta = b^2 - 4ac$

• 4. Diskriminantı Hesaplama:

Şimdi belirlediğimiz $a=4$, $b=8$ ve $c=9$ değerlerini diskriminant formülünde yerine koyalım:

$\Delta = (8)^2 - 4(4)(9)$

Önce üslü ifadeyi ve çarpımları yapalım:

$\Delta = 64 - 16 \times 9$

Şimdi çarpma işlemini tamamlayalım:

$\Delta = 64 - 144$

Son olarak çıkarma işlemini yapalım:

$\Delta = -80$

• 5. Diskriminantın Değerini Yorumlama:

Diskriminantın değerini $\Delta = -80$ olarak bulduk. Şimdi bu değeri köklerin doğası ile ilişkilendirelim:

Diskriminantın değerine göre köklerin doğası şöyledir:

Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı gerçel kökü vardır.

Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü (çakışık kök) vardır.

Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçel kökü yoktur (iki farklı karmaşık kökü vardır).

Bizim durumumuzda $\Delta = -80$ olduğu için $\Delta < 0$ koşulu sağlanmaktadır. Bu, denklemin gerçel kökleri olmadığı anlamına gelir.

• 6. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma:

Bulduğumuz $\Delta < 0$ sonucunu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğru seçeneğin C olduğunu görürüz.

Cevap C seçeneğidir.