Delta < 0 durumunda sanal kökleri bulma Test 1

2x² + 6x + k = 0 denkleminin sanal köklere sahip olması için k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir ikinci dereceden denklemin sanal köklere sahip olması için $k$ değerinin ne olması gerektiğini bulacağız. İkinci dereceden denklemlerin köklerinin doğasını belirleyen çok önemli bir kavram vardır: Diskriminant.

• Denklemi Tanımlama:

  Verilen denklem $2x^2 + 6x + k = 0$ şeklindedir. Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ formatındadır. Bu durumda, denklemimizdeki katsayılar şunlardır:

  • $a = 2$
  • $b = 6$
  • $c = k$
• Sanal Kökler İçin Koşul:

  Bir ikinci dereceden denklemin sanal (gerçek olmayan) köklere sahip olması için diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir. Diskriminant $\Delta$ (delta) ile gösterilir ve formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.

  Sanal kökler için koşul: $\Delta < 0$ olmalıdır.

• Diskriminantı Hesaplama:

  Şimdi, denklemimizdeki $a$, $b$ ve $c$ değerlerini diskriminant formülünde yerine koyalım:

  $\Delta = b^2 - 4ac$

  $\Delta = (6)^2 - 4(2)(k)$

  $\Delta = 36 - 8k$

• Eşitsizliği Kurma ve Çözme:

  Sanal kökler için $\Delta < 0$ koşulunu kullanarak bir eşitsizlik oluşturalım:

  $36 - 8k < 0$

  Şimdi bu eşitsizliği $k$ için çözelim. $-8k$'yi eşitsizliğin diğer tarafına atalım:

  $36 < 8k$

  Her iki tarafı $8$'e bölelim:

  $\frac{36}{8} < k$

  Kesri sadeleştirelim:

  $\frac{9}{2} < k$

  Veya ondalık olarak ifade edersek:

  $4.5 < k$

• $k$'nin En Küçük Tam Sayı Değerini Bulma:

  Eşitsizlik bize $k$'nin $4.5$'ten büyük olması gerektiğini söylüyor. $k$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri, $4.5$'ten büyük olan ilk tam sayıdır.

  Bu sayı $5$'tir.

Bu nedenle, denklemin sanal köklere sahip olması için $k$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri $5$'tir.

Cevap B seçeneğidir.