9. Sınıf Üslü Gösterimin Üssünü Alma Nasıl Yapılır? Test 1

Bir bakteri türü her 20 dakikada bir ikiye bölünmektedir. Başlangıçta 8 bakteri bulunan bir ortamda 2 saat sonra oluşacak toplam bakteri sayısı \(2^n\) formülü ile ifade ediliyor. Buna göre n kaçtır?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde bir bakteri türünün çoğalmasını ve belirli bir süre sonra ulaşacağı toplam bakteri sayısını üslü ifade şeklinde bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim:

• Adım 1: Toplam Süreyi Dakikaya Çevirelim.

  Bakterilerin bölünme süresi 20 dakika olarak verildiği için, toplam süreyi de dakikaya çevirmemiz gerekiyor. 1 saat 60 dakikadır.

  $2 \text{ saat} = 2 \times 60 \text{ dakika} = 120 \text{ dakika}$.

• Adım 2: Bakterilerin Kaç Kez Bölündüğünü Bulalım.

  Bakteriler her 20 dakikada bir ikiye bölünüyor. Toplam süre 120 dakika olduğuna göre, bu süre içinde kaç kez bölündüklerini hesaplayalım:

  Bölünme sayısı = $\frac{\text{Toplam süre}}{\text{Bölünme aralığı}} = \frac{120 \text{ dakika}}{20 \text{ dakika}} = 6 \text{ kez}$.

  Bu, bakterilerin 6 kez ikiye katlanacağı anlamına gelir.

• Adım 3: Başlangıç Bakteri Sayısını ve Bölünme Sonrası Artışı Hesaplayalım.

  Başlangıçta 8 bakteri bulunmaktadır. Her bölünmede bakteri sayısı 2 katına çıkar. 6 kez bölündüğünde, bakteri sayısı $2^6$ katına çıkar.

  $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.

  Yani, başlangıçtaki her bir bakteri 64 katına çıkacaktır. Toplam bakteri sayısı, başlangıçtaki bakteri sayısı ile bu katlanma faktörünün çarpımıdır:

  Toplam bakteri sayısı = Başlangıç bakteri sayısı $\times$ Katlanma faktörü

  Toplam bakteri sayısı = $8 \times 2^6$.

• Adım 4: Toplam Bakteri Sayısını $2^n$ Formunda İfade Edelim.

  Şimdi $8 \times 2^6$ ifadesini $2^n$ şeklinde yazmalıyız. Bunun için 8 sayısını 2'nin üssü olarak ifade edelim:

  $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$.

  Bu durumda, toplam bakteri sayısı ifadesi şöyle olur:

  Toplam bakteri sayısı = $2^3 \times 2^6$.

  Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır ($a^m \times a^p = a^{m+p}$ kuralını hatırlayalım):

  Toplam bakteri sayısı = $2^{3+6} = 2^9$.

• Adım 5: $n$ Değerini Bulalım.

  Soruda, 2 saat sonra oluşacak toplam bakteri sayısının $2^n$ formülü ile ifade edildiği belirtilmişti. Biz de toplam bakteri sayısını $2^9$ olarak bulduk.

  Bu durumda, $2^n = 2^9$ eşitliğinden $n = 9$ sonucuna ulaşırız.

Cevap D seçeneğidir.