Bu soruda, $27^4$ sayısını $3^n$ şeklinde yazarak $n$ değerini bulmamız isteniyor. Üslü sayılarla ilgili temel kuralları kullanarak bu soruyu adım adım çözelim:
- Adım 1: Tabanı Ortak Hale Getirme
- Öncelikle, verilen $27^4$ ifadesindeki taban olan $27$ sayısını, hedef tabanımız olan $3$ cinsinden yazmalıyız.
- $27$ sayısı, $3$'ün kaçıncı kuvvetidir?
- $3 \times 3 = 9$
- $9 \times 3 = 27$
- Yani, $27 = 3^3$ şeklinde yazılabilir. Bu, $27$'yi $3$ tabanında ifade etmemizi sağlar.
- Adım 2: İfadeyi Yeniden Yazma
- Şimdi, $27^4$ ifadesindeki $27$ yerine $3^3$ yazalım. Bu durumda ifademiz şu şekli alır:
- $27^4 = (3^3)^4$
- Adım 3: Üslü Sayıların Kuvveti Kuralını Uygulama
- Bir üslü sayının kuvvetini alırken, taban aynı kalır ve üsler çarpılır. Bu kuralı hatırlayalım: $(a^m)^k = a^{m \times k}$.
- Bu kuralı $(3^3)^4$ ifadesine uygulayalım. Burada $a=3$, $m=3$ ve $k=4$'tür.
- $(3^3)^4 = 3^{3 \times 4}$
- Adım 4: Üsleri Çarpma
- Şimdi üsleri çarpma işlemini gerçekleştirelim:
- $3 \times 4 = 12$
- Böylece, ifademiz $3^{12}$ şeklini alır. Yani, $27^4 = 3^{12}$'dir.
- Adım 5: $n$ Değerini Bulma
- Soruda bize $27^4$ sayısının $3^n$ şeklinde yazıldığı söylenmişti. Biz de $27^4$ sayısını $3^{12}$ olarak bulduk.
- Bu durumda, $3^n = 3^{12}$ eşitliğini elde ettik.
- Tabanlar aynı olduğuna göre, bu eşitliğin sağlanabilmesi için üslerin de birbirine eşit olması gerekir.
- Bu durumda, $n = 12$ olur.
Doğru cevabı seçeneklerde aradığımızda, $n=12$ değerinin B seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
