\(81^2 \cdot 27^3\) işleminin sonucu \(3^n\) olduğuna göre, n kaçtır?
A) 10Bu soruyu çözmek için, verilen sayıları aynı tabanda (3 tabanında) üslü ifade olarak yazmamız ve üslü sayılarla ilgili temel kuralları uygulamamız gerekmektedir.
Öncelikle, $81$ ve $27$ sayılarını $3$ tabanında üslü ifade olarak yazalım.
$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$
$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
Şimdi, bu değerleri sorudaki yerine koyalım:
$81^2 \cdot 27^3 = (3^4)^2 \cdot (3^3)^3$
Bir üslü ifadenin üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani, $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$ kuralını kullanacağız.
$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$
$(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$
Şimdi ifademiz şu hale geldi: $3^8 \cdot 3^9$
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır. Yani, $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ kuralını kullanacağız.
$3^8 \cdot 3^9 = 3^{8+9} = 3^{17}$
Soruda bize işlemin sonucunun $3^n$ olduğu belirtilmişti.
Bizim bulduğumuz sonuç $3^{17}$ olduğuna göre, $3^n = 3^{17}$ eşitliğinden $n = 17$ sonucuna ulaşırız.
Cevap D seçeneğidir.
