Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle limit konusundaki önemli bir problemi adım adım çözeceğiz. Amacımız, sonsuza giden rasyonel fonksiyonların limitlerini nasıl hesapladığımızı anlamak.
Sorumuz: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+5x}{2x^2-7}$ limiti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Adım 1: Limitin Belirsiz Formunu Belirleme
- Öncelikle, $x$ sonsuza giderken pay ve paydanın neye yaklaştığını inceleyelim.
- Pay kısmında $3x^2+5x$ ifadesi, $x \to \infty$ iken $3(\infty)^2+5(\infty) \to \infty$ olur.
- Payda kısmında $2x^2-7$ ifadesi, $x \to \infty$ iken $2(\infty)^2-7 \to \infty$ olur.
- Bu durumda limitimiz $\frac{\infty}{\infty}$ belirsiz formundadır. Bu tür belirsizlikleri gidermek için özel yöntemler kullanırız.
- Adım 2: Belirsizliği Giderme Yöntemini Uygulama
- Rasyonel fonksiyonlarda ($P(x)/Q(x)$ şeklinde olan fonksiyonlar) $x \to \infty$ (veya $x \to -\infty$) limitlerini bulurken, pay ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli $x$ terimine bölmek standart bir yöntemdir.
- Verilen ifadede paydanın en yüksek dereceli terimi $x^2$'dir. Bu yüzden hem payı hem de paydayı $x^2$'ye böleceğiz.
- İfadeyi yeniden yazalım:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{7}{x^2}}$
- Adım 3: İfadeyi Basitleştirme
- Şimdi her terimi sadeleştirelim:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3+\frac{5}{x}}{2-\frac{7}{x^2}}$
- Adım 4: Limitleri Ayrı Ayrı Hesaplama
- Limit özelliklerini kullanarak her terimin limitini ayrı ayrı alabiliriz:
- $\lim_{x \to \infty} 3 = 3$ (Sabit bir sayının limiti kendisidir.)
- $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} = 0$ (Çünkü pay sabitken payda sonsuza gider, kesir sıfıra yaklaşır.)
- $\lim_{x \to \infty} 2 = 2$ (Sabit bir sayının limiti kendisidir.)
- $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^2} = 0$ (Çünkü pay sabitken payda sonsuza gider, kesir sıfıra yaklaşır.)
- Adım 5: Sonuçları Birleştirme
- Bulduğumuz limit değerlerini yerine koyalım:
$\frac{3+0}{2-0} = \frac{3}{2}$
- Alternatif (Pratik) Yöntem:
- Rasyonel fonksiyonlarda $x \to \infty$ limitlerini bulurken, pay ve paydanın en yüksek dereceli terimlerinin katsayılarına bakabiliriz.
- Eğer payın derecesi ile paydanın derecesi eşitse, limit bu en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır.
- Bizim örneğimizde, payın en yüksek derecesi $x^2$ (katsayısı $3$), paydanın en yüksek derecesi de $x^2$ (katsayısı $2$).
- Dereceler eşit olduğu için limit, en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır: $\frac{3}{2}$.
Bu iki yöntem de aynı sonuca ulaşmamızı sağlar ve doğru cevabın $\frac{3}{2}$ olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
