Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - x + 7} \]
Çözüm:
💡 Bu limit, ∞/∞ belirsizliği içermektedir. Pay ve paydanın dereceleri aynı olduğu için, payı ve paydayı paydanın en yüksek dereceli terimi olan \(x^2\) ile böleceğiz.
- ➡️ İlk adım: Pay ve paydayı \(x^2\) ile bölelim:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{7}{x^2}} \]
- ➡️ İkinci adım: Sadeleştirelim:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{7}{x^2}} \]
- ➡️ Üçüncü adım: \(x \to \infty\) iken, \(\frac{5}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), \(\frac{1}{x}\) ve \(\frac{7}{x^2}\) terimlerinin limiti 0'a gider.
- ➡️ Dördüncü adım: Kalan ifadenin limiti: \(\frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}\).
✅ Sonuç: Limit \(\frac{3}{2}\)'dir.
