Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 2}{2x^2 - x + 7}\)
Çözüm:
💡 Bu limit, \(x \to \infty\) iken \(\frac{\infty}{\infty}\) belirsizliği verir. Bu tür belirsizlikleri ortadan kaldırmak için pay ve paydayı paydanın en yüksek kuvvetine böleceğiz.
- ➡️ İlk adım, pay ve paydayı \(x^2\) ile bölmektir: \(\frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{7}{x^2}} = \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{7}{x^2}}\)
- ➡️ İkinci adım, \(x \to \infty\) iken \(\frac{1}{x}\), \(\frac{2}{x^2}\), \(\frac{7}{x^2}\) gibi terimlerin 0'a gittiğini gözlemlemektir.
- ➡️ Son adım, kalan ifadenin limitini almaktır: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}\)
✅ Sonuç: Limit değeri \(\frac{3}{2}\)'dir.
