Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}\)
Çözüm:
💡 Bu limit, \(x = 0\) noktasında doğrudan yerine koyma yapılırsa \(\frac{0}{0}\) belirsizliği verir. Bu tür belirsizlikleri ortadan kaldırmak için eşlenik ifade ile çarpma yöntemini kullanacağız.
- ➡️ İlk adım, payın eşleniği ile çarpmaktır: \(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}\)
- ➡️ İkinci adım, payda iki kare farkı oluşturmaktır: \(\frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}\)
- ➡️ Üçüncü adım, \(x\) terimlerini sadeleştirmektir (Burada \(x \neq 0\) olduğunu unutmayın): \(\frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}\)
- ➡️ Son adım, sadeleştirilmiş ifadenin limitini almaktır: \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}\)
✅ Sonuç: Limit değeri \(\frac{1}{4}\)'tür.
