Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}\)
Çözüm:
💡 Bu limit, \(x = 1\) noktasında doğrudan yerine koyma yapılırsa \(\frac{0}{0}\) belirsizliği verir. Bu tür belirsizlikleri ortadan kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayıracağız.
- ➡️ İlk adım, pay ve paydayı çarpanlarına ayırmaktır:
- Pay: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)
- Payda: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
- ➡️ İkinci adım, pay ve paydayı sadeleştirmektir: \(\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\) (Burada \(x \neq 1\) olduğunu unutmayın).
- ➡️ Son adım, sadeleştirilmiş ifadenin limitini almaktır: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}\)
✅ Sonuç: Limit değeri \(\frac{3}{2}\)'dir.
