Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} \]
Çözüm:
💡 Bu limit, 0/0 belirsizliği içermektedir. Burada, \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1\) temel limitini kullanacağız.
- ➡️ İlk adım: Limit ifadesini, temel limit formuna uygun hale getirmeye çalışalım:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} \]
- ➡️ İkinci adım: Paydadaki \(3x\) ifadesini, paydaki \(5x\) ile uyumlu hale getirmek için pay ve paydayı 5 ile çarpıp bölelim:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x} \cdot \frac{5}{5} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \]
- ➡️ Üçüncü adım: Sabit çarpanı limitin dışına alalım ve değişken değiştirme yapalım. \(u = 5x\) dersek, \(x \to 0\) iken \(u \to 0\) olur:
\[ \frac{5}{3} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} \]
- ➡️ Dördüncü adım: Temel limit bilgisini uygulayalım: \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\):
\[ \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3} \]
✅ Sonuç: Limit \(\frac{5}{3}\)'tür.
