Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} \]
Çözüm:
💡 Bu limit, 0/0 belirsizliği içermektedir. Bu tür köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemini kullanacağız.
- ➡️ İlk adım: Payın eşleniği olan \(\sqrt{x+4} + 2\) ile payı ve paydayı çarpalım:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4} - 2)}{x} \cdot \frac{(\sqrt{x+4} + 2)}{(\sqrt{x+4} + 2)} \]
- ➡️ İkinci adım: Payda iki kare farkı oluşur: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} \]
- ➡️ Üçüncü adım: Payı sadeleştirelim: \(x+4-4 = x\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4} + 2)} \]
- ➡️ Dördüncü adım: \(x\) ler sadeleşir:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} \]
- ➡️ Beşinci adım: Artık belirsizlik kalktı. x=0 koyalım: \(\frac{1}{\sqrt{0+4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}\).
✅ Sonuç: Limit \(\frac{1}{4}\)'tür.
